Devoir Variables aléatoires réelles & fonctions - corrigé 2

Résumé du document

Corrigé de devoirs de prépa HEC (voie économique)

Extraits

[...] e Attention, si on obtient la combinaison FPPF, alors J a gagn´ ` l'issue du troisi`me lancer et ea ea e il n'y a donc pas de quatri`me lancer ! e e Pour que J gagne au ni`me lancer, on doit n´cessairement avoir Fn . De plus, pour que J e e e n'ait pas gagn´ avant, il faut qu'on obtienne pile au 3)i`me lancer (sinon, J gagne au 1)i`me . e i`me En it´rant ce raisonnement, on montre qu'on doit en fait obtenir pile ` chaque lancer, sauf au n e . e a n Or, la combinaison PPPP . PPF a la probabilit´ 1/2n d'ˆtre obtenue. [...]

[...] e 3 Partie B : approche de la solution de l'´quation f = x e 1. La fonction h est continue et d´rivable sur et h = 2 x > 0. e x2 La fonction h est donc strictement croissante sur et, comme elle est continue, elle r´alise une bijection e de sur ] lim+ 1]. (d'apr`s l'´nonc´) e e e (d'apr`s HRn ) e n n n n = donc, d'apr`s le th´or`me des gene e e Pour que un α il suffit que Or n 2n 102 n 7. [...]

[...] Pour cela, on s'int´resse ` la suite des sommes partielles e e e a n n n Pour tout n k=1 gk = g1 + g2 + k=3 n gk = 0 + 0 + k=3 n n ( 1 + dk ) 2k n = + 2k k=3 k=3 dk = + k=2 dk k=3 dk = + d2 dn La suite des sommes partielles converge donc et n lim k=1 gk = lim + d2 lim dn = + (On a lim dn = 0 car 0 dn ( 7 (en appliquant le th des gendarmes)) 8 La s´rie (gn ) converge donc et sa somme v´rifie e e n=1 gn = 1. Or, l'´v´nement jeu se termine par la victoire d'un joueur” est G1 G2 . Gn . = e e n=1 Gn . Comme ces ´v´nements sont disjoints, P joueur gagne”) = P e e n=1 Gn = n=1 gn = 1. L'´v´nement joueur gagne” est donc certain. e e La seule combinaison r´alisant J3 est donc j3 = 1/8. [...]

[...] Devoir surveill´ n 4 - Concours blanc - Corrig´ e e Probl`me 1 Tir´ de HEC - option techno-2004 e e 1. d1 = 1 car l'´v´nement D1 est certain. e e La seule issue ne r´alisant pas l'´v´nement D2 est pile” et sa probabilit´ est 1/4. On a donc e e e e bien d2 = P (D2 ) = 1 1/4 = 3/4. Il y a 8 issues possibles et ´quiprobables sur l'ensemble des 3 premiers lancers. Parmi ces 8 issues e ne r´alisent pas D3 : PPP, PPF et FPP. [...]

[...] e e e Sur les trois premiers lancers, il y a 8 r´sultats possibles, dont 2 font gagner un joueur. On a donc e e3 = P (E3 ) = 1 2/8 = 3/4. De mˆme, on obtient g1 = g2 = 0 et g3 = 1/4. e e Aucun joueur n'a gagn´ ` l'issue du ni`me lancer si et seulement si on n'a pas obtenu deux piles e a cons´cutifs ou on a obtenu que des piles. Ces deux ´v´nements sont disjoints et la probabilit´ du e e e e deuxi`me (que des piles) est On a donc e n P (En ) = P (Dn ) + P des piles”) = dn + 2n e Un joueur est d´clar´ gagnant a l'issue du ni`me lancer si et seulement si aucun joueur n'a gagn´ ` e e ` ea l'issue des n 1 premiers lancers ) et un joueur a gagn´ ` l'issue des n lancers (En ea On a donc Gn = En Comme En on obtient : P (Gn ) = P (En ) = P ) P (En ) = 1 + 1 + dn 2n = 1 + dn . [...]