Les développements limités usuels

Résumé du document

Le document suivant donne les développements limités usuels à l'ordre n des fonctions numériques basiques en utilisant la formule de Taylor-Young. Ce document contient une page traitant les formules des développements limités usuels et essentiels dans le calcul des limités et des dérivés. Il résume les développements limités usuels des fonctions classiques.

Extraits

[...] + (−1)n + o(x2n+1 ) = (−1)k + o(x2n+1 ) x→0 x→ 2n + 1 2k + 1 (et même o(x2n+2 ) ou O(x2n+3 k=0 α(α − 2 α(α − . (α − − n + x)α = 1 + αx + x + . + x + o(xn ) (α réel donné) x→ n n X α k = x + o(xn ) x→0 k = 1 + 2x + 3x2 + . + 1)xn + o(xn ) − x)2 x→0 On obtient un développement de Arcsin x en intégrant un développement de √ − x2 = − x2 )−1/2 . [...]

[...] + xn + o(xn ) = xk + o(xn ) x→ − x x→0 k=0 n X 1 = 1 − x + x2 + . + (−1)n xn + o(xn ) = (−1)k xk + o(xn ) x→ + x x→0 ln(1 + = x − x→0 n x x + . + (−1)n−1 + o(xn ) = x→ n n X (−1)k−1 k=1 xk + o(xn ) k n X x x xk ln(1 − = −x − + . [...]

[...] Formule de Taylor-Young en 0. = x→0 ex = 1 + x + x→0 n X k x + o(xn k k=0 n X x2 xn xk + . + + o(xn ) = + o(xn ) x→ n k k=0 n X x x x2k chx = 1 + + . + + o(x2n ) = + o(x2n ) (et même o(x2n+1 ) et même O(x2n+2 x→0 x→ 2 2n k=0 n X x x x2k+1 + . + + o(x2n+1 ) = + o(x2n+1 ) (et même o(x2n+2 ) ou O(x2n+3 x→ (2n + (2k + 3 shx = x + x→0 2n+1 k=0 2n 2 n X x2k + o(x2n ) cos x = 1 − x x + . [...]