Les déterminants - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - Les déterminants

Extraits

[...] (Développement dit suivant la première colonne) Règle dite de Sarus que l'on retient en comptant positivement les produits des termes des diagonales descendantes et négativement les produits des termes des diagonales ascendantes dans la matrice de Sarus : FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES. Vers une généralisation. Il est facile de déceler des propriétés algébriques communes aux trois déterminants que nous avons défini précédemment. _ Il s'agît d'applications f allant de En vers K. tout système S de n vecteurs de E on associe un scalaire ) _ Ces applications agissent de manière linéaire sur chacun des vecteurs composant le système les n-1 autres vecteurs étant fixés. [...]

[...] L'intervention de cette notation permet de formuler de façon plus pratique la relation de définition par récurrence des déterminants généraux. En effet le déterminant d'ordre n noté dans la démonstration : n'est autre que le déterminant de la matrice carrée Ai obtenue à partir de A en supprimant la première colonne et la ligne d'indice i. La construction se résume alors à : Formule dite du développement suivant la première colonne de A. Déterminant d'un endomorphisme. Soit u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension n et B une base de E. [...]

[...] D est donc bien continue sur I comme combinaison linéaire de produits de fonctions continues. Ici aussi récurrence sur n. _ Pour n=2 [a(1,1).a(2,2)-a(1,2).a(2,1)]'=a'(1,1).a(2,2)- a'(1,2).a(2,1) +a(1,1).a'(2,2)-a(1,2).a'(2,1) Ceci d'après les règles de dérivation des produits et sommes de fonctions dérivables. On obtient bien la technique de dérivation annoncée. _ Supposons la propriété vraie à l'ordre n et examinons avec les notations du un déterminant fonctionnel d'ordre n+1. La formule de développement employée plus haut montre que D est dérivable sur I suivant la formule : D'(x)= La première somme est le développement suivant la première colonne du déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la première colonne de par celle des dérivées des fonctions composantes la constituant. [...]

[...] Remarquons que dans ce cas xy'-x'y=0. On définira donc naturellement ici le déterminant de S dans la base B comme l'élément de K noté et représenté par : detB (S)=xy'-x'y= Ce qui précède établit l'équivalence entre la dépendance linéaire de S et l'annulation de son déterminant. _ Pour n=3. Soit B e2, e3) base de E et v2, v3) système dont la matrice représentative dans B est . _ Si x non nul on effectue les manipulations sur colonnes suivantes : Cette matrice est donc de rang 3 si et seulement si ses deux dernières colonnes forment un système libre, ou encore, vu l'étude précédente appliquée dans le plan engendré par e3 si le déterminant est non nul. [...]

[...] On termine en calculant det(T2)= Ainsi ( n : det(Tn)= En utilisant la linéarité par rapport à la dernière colonne on peut d'abord décomposer Dn en la somme An+Bn des deux déterminants obtenus en remplaçant respectivement la dernière colonne de la matrice d'origine d'une part par une colonne formée uniquement de 1 et d'autre part par la colonne dont tous les termes sont nuls sauf le dernier, égal à n. _ En développant Bn suivant cette même dernière colonne, il vient : Bn=nDn-1. _ En soustrayant à chaque ligne de An la dernière ligne du tableau, on obtient un déterminant triangulaire inférieur dont les termes de la diagonale principale sont les entiers On en déduit immédiatement et par suite la relation de récurrence : Dn=(n-1)!+nDn-1 valable pour tout n (2. [...]