Les déterminants - publié le 13/06/2008

Résumé du document

Cours de maths de prépa sur les déterminants

Extraits

[...] Les manipulations de type Gauss sur les colonnes vont donc se traduire par des manipulations analogues sur les lignes avec les mêmes conséquences liées aux caractères de multilinéarité et d'alternance des déterminants. En résumé : Développement suivant une ligne quelconque. Vu le résultat sur la transposition, la formule du développement du déterminant suivant une colonne d'indice quelconque se traduit immédiatement, si on l'applique à la transposée d'une matrice donnée par une formule analogue dite de développement suivant une ligne : ( i désignant toujours la matrice carrée d'ordre n-1 obtenue à partir de A en supprimant la ligne d'indice i et la colonne d'indice j. Déterminant d'une matrice triangulaire. Théorème. [...]

[...] D est donc bien continue sur I comme combinaison linéaire de produits de fonctions continues. Ici aussi récurrence sur n. _ Pour n=2 [a(1,1).a(2,2)-a(1,2).a(2,1)]'=a'(1,1).a(2,2)- a'(1,2).a(2,1) +a(1,1).a'(2,2)-a(1,2).a'(2,1) Ceci d'après les règles de dérivation des produits et sommes de fonctions dérivables. On obtient bien la technique de dérivation annoncée. _ Supposons la propriété vraie à l'ordre n et examinons avec les notations du un déterminant fonctionnel d'ordre n+1. La formule de développement employée plus haut montre que D est dérivable sur I suivant la formule : D'(x)= La première somme est le développement suivant la première colonne du déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la première colonne de par celle des dérivées des fonctions composantes la constituant. [...]

[...] En effet si S est lié, un des vecteurs de S pourra s'écrire comme combinaison linéaire des autres. Si on en déduit par linéarité de f par rapport à la variable d'ordre i et en utilisant les notations précédentes, la relation : s'annule sur chacun des Sj dont les composantes d'ordre i et j égalent vj) On a donc bien là une piste pour la caractérisation qui nous préoccupe : une forme n-linéaire alternée f permet de conclure la liberté d'un système S dont l'image est non nulle. [...]

[...] On a déjà étudié des techniques de détermination du rang par des manipulations sur la matrice représentant S dans B . En particulier la méthode du pivot de Gauss nous ramène à une matrice triangulaire équivalente, de rang n si et seulement si aucun des coefficients diagonaux n'est nul. Il est alors naturel de se demander s'il est possible de construire en marge de cette démarche une expression synthétique portant sur les composantes initiales des vecteurs de S et dont l'analyse permettrait de déterminer simplement si S est à son tour une base de E. [...]

[...] La matrice de f dans B' est alors aussi du type demandé. En effet ses p premières colonnes ne sont autres que celles de A complétées par des coefficients nuls, et l'image par f d'un vecteur de B'-B est combinaison des vecteurs de B puisque ce système est une base de Im(f). La propriété étudiée se transmet donc bien du rang k au rang k+1. D'après ce qui précède, In+N sera semblable à une matrice triangulaire supérieure dont tous les éléments de la diagonale principale seront égaux à 1. [...]