La dérivation - généralités, techniques, applications et exercices

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - La dérivation

Extraits

[...] Pour tout couple tel que x et x+h on peut écrire On en déduit : Ainsi le nombre dérivé de ln en tout x est égal à Fonction exponentielle. Rappelons une des formes du théorème de dérivation d'une réciproque : Si la fonction f à valeurs réelles admet en tout point de l'intervalle I un nombre dérivé strictement positif, alors la réciproque g=f est dérivable sur l'intervalle suivant la formule : . Appliqué à sur [ on en déduit la dérivabilité de l'exponentielle naturelle en tout point de suivant : L'exponentielle naturelle coïncide donc avec sa fonction dérivée. Fonctions puissances. [...]

[...] On peut donc la prolonger par continuité en lui attribuant sa valeur limite en ce point, c'est à dire en posant en posant Sur f (et donc aussi vu la localité de la dérivabilité) est dérivable selon les théorèmes classiques suivant la formule : En (Ici encore en utilisant le fait que sinus est une fonction bornée) Le prolongement est donc dérivable en 0 avec ( Par contre, la dérivée de n'est pas continue en il suffit pour s'en convaincre de considérer la suite n ( , convergente vers alors que la suite de ses images par ( )' stagne sur - donc n'a pas pour limite la valeur de la dérivée en Sur f est dérivable suivant les théorèmes classiques sur les sommes, produits, composées, selon la formule : _ Si cos( on a alors f'(x) (sin( , donc f'(x)(1. _ Si cos( il vient f'(x)=sin( (1. Examinons la dérivabilité en On en déduit f'(0)=0 (1. Pour montrer que 1 est le plus petit majorant des valeurs de f', il suffit de montrer que tout nombre strictement inférieur à (soit du type avec ( pourra être dépassé par un f'(x) avec x convenablement choisi. Pour cela essayons des nombres du type avec n entier. [...]

[...] La continuité en 1 est vérifiée. On peut alors appliquer le théorème de Rolle à g sur puisque de plus cette fonction prend des valeurs identiques aux bornes de cet intervalle. Il existe donc au moins un réel d de tel que g'(d)=0. En posant on en déduit alors f'(c)=0 avec Si la fonction continue sur changeait de signe sur cet intervalle, on en déduirait d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'annulation de f en un point au moins de l'intervalle b]. [...]

[...] On obtient . On en déduit l'équivalence : f'(xn) ( . Or ceci sera toujours réalisable à partir d'un certain rang car la suite n (xn converge vers 0. Si f était de classe C1 sur l'image de ce fermé borné par la fonction continue f' serait encore un intervalle fermé borné. La borne supérieure 1 de la dérivée serait alors atteinte au moins une fois par f' sur l'intervalle, ce que contredit le résultat Soit a un réel quelconque fixé. [...]

[...] Soit f la fonction racine carrée. On sait qu'elle est continue en tout point de Examinons le comportement de son taux d'accroissement à l'origine La fonction f n'est donc pas dérivable en 0. Malgré cela, et plus généralement dans tous les cas où le taux d'accroissement admet une limite infinie au point d'étude, on conviendra de dire que la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé admet une tangente ‘verticale'. En effet, la corde joignant le point fixe A de C d'abscisse a au point variable M de C d'abscisse x a pour pente le taux d'accroissement , désignant la mesure en radians comprise entre - et de l'angle entre l'axe des abscisses et cette corde (AM). [...]