Les critères de stabilité

Thèmes abordés

Stabilité, électronique, mathematique, Routh, Nyquist

Résumé du document

On appelle critère de Routh un critère algébrique permettant d'évaluer la stabilité d'un système à partir des coefficients du dénominateur D(p) de sa fonction de transfert en boucle fermée (WBF).
Il permet de déterminer si les racines de l'équation caractéristique D(s) = 0 du système sont à parties réelles positives ou non sans calculer explicitement ces racines.

Extraits

[...] K K WBO (εeiθ ) = ε2 ei2θ = ε2 e−i2θ Imaginaires e−i2θ θ(π, ω = , +ω ω= Réels 1 ω = ω = , 3𝜋⁄2 Réels 4 On compte N nombre de tour autour de dans le sens trigonométrique. On s'aperçoit que le tracé fait tours autour de N = -2. 5 Connaissant le nombre de pôles à partie réelle positive de W BO, on pose : Z = P N. On sait qu'il n'y a pas de pôle à partie réelle positive P = 0. [...]

[...] Donc Z = = 2 6 Si Z = 0 Le système est stable. Si Z 0 le système est instable. Z 0 le système est instable. [...]

[...] Imaginaires ω = , ω= ω = ω = , π Réels Réels 3 On calcule l'image de εeiθ par WBO et on ferme le lieu en reliant le au 0+. K K WBO (εeiθ ) = ε2 ei2θ = ε2 e−i2θ e−i2θ θ(π, Imaginaires ω = , +ω ω= 1 Réels ω = ω = , π 4 On compte N nombre de tour autour de dans le sens trigonométrique. On s'aperçoit que le tracé fait tours autour de N = -2. [...]

[...] Règle 2 Si les coefficients ai ne sont pas tous de même signe, alors le système est instable. Règle 3 Si aucun coefficient ai est nul, et si ils sont tous de même signe, alors la stabilité (ou l'instabilité) est donnée par le tableau de Routh. Tableau de Routh - La première ligne du tableau comporte les coefficients a an-2, an La deuxième ligne du tableau comporte les coefficients a an-3, an Si nécessaire, une case vide est prise égale à zéro. [...]

[...] Démarche 1 On trace le lieu de Nyquist de la fonction de transfert W BO de à 2 On complète par son symétrique par rapport à l'axe des réels, ce qui donne la W BO de à 3 On calcule l'image de εeiθ par WBO et on ferme le lieu en reliant le au 0+. 4 On compte N nombre de tour autour de dans le sens trigonométrique. 5 Connaissant le nombre de pôles à partie réelle positive de W BO, on pose : Z = P N. 6 Si Z = 0 Le système est stable. Si Z 0 le système est instable. [...]