Les équations différentielles - publié le 03/11/2008

Résumé du document

Résoudre une équation différentielle c'est trouver la ou les fonctions y qui sont solutions, et qui font de l'égalité, une égalité vraie (...)

Extraits

[...] Je pose solution de (E') ( c'est un remplacement dans (E') La dérivée d'une somme est la somme des dérivées ( Or on sait que g est une solution de démontrer dans la première étape Donc on a : g'=ag+b ( ( L'équation est identique que l'équation non homogénéisé ( Troisième étape : on résous l'homogène Cette équation est du type y'=ky dont la solution générale est Donc la solution générale est : Quatrième étape : Elle permet de déterminer l'équation générale de l'équation différentielle. On a f qui est solution de ( avec ( La solution générale de l'équation différentielle de y'=ay+b est la fonction f définie par , C appartenant à l'ensemble des réels. Remarque : On peut fixer une condition initiale. Il faut pour les résoudre, trouver le C correspondant puis on trouve la solution particulière à la condition initiale de la non homogène. [...]

[...] Résoudre une équation différentielle c'est trouver la ou les fonctions y qui sont solutions, et qui font de l'égalité, une égalité vraie. Exemple : Résoudre Il faut chercher une fonction y connaissant sa dérivée. Cela revient à primitiver : C'est une famille des fonctions solutions Cette famille est nommée la solution générale de l'équation. Résoudre Il faut primitiver deux fois y'' afin de trouver y : ATTENTION : k' n'est pas la dérivée de la constante mais une autre constante. [...]

[...] Si en plus, on possède une condition initiales y vaut y0 quand x vaut x0. On recherche C : ( La solution particulière de l'équation différentielle qui vaut y0 quand x vaut x0 est Exemple : résoudre Type équation différentielle dont la solution générale est Donc la solution est III/ Equation différentielle type y'=ay+b, avec a et b réels fixes y'=ay+b est une relation d'affinité (affine) Type équation différentielle de premier ordre, non homogène (à cause du On pose l'équation non homogène : On pose (E') l'équation homogénéisé : (relation de proportionnalité) Pour résoudre une équation non homogène : Première étape : On cherche une solution particulière (ou singulière) de la non homogène dans la forme du terme de non homogénéité. [...]

[...] Oui, car une équation différentielle est une famille de solution. On pose g définie par = e-kx avec f' solution de y'=ky Je dérive g : On a type u*v dont la dérivée est u'v+uv' e-kx type eu dont la dérivée est u'eu Donc : g'(x) = + (f'(x)) = e-kx(-k.f(x) + f'(x)) On sait que f est la solution de ( comme f est solution, on peut remplacer y par f (c'est un remplacement) ( Donc = C (la valeur c est une constante) ( e-kx = C ( =C. [...]