Cours de probabilités élémentaires Chp. 4

Résumé du document

Cous de probabilités élémentaires de Pierre Jacob, Montpellier 2 :

1 - Lois de probabilités

2 - Lois continues

3 - Appendice 1 : petit nécessaire d'intégration

4 - Appendice 2 : convergences de suites de lois de probabilités

Extraits

[...] e e e Exemple 12 Soit X de loi de Bernoulli de param`tre p. Alors e t t P > s + = = P > e−λs = e−λt = P > . fin du cours du 08/11/ Loi normale centr´e r´duite e e Une variable X suit la loi normale centr´e r´duite sur si e e 1 P X = 2π La notation usuelle est b a 2 dx X N On ne donne pas le r´sultat de l'int´gration entre a et b de la densit´ e e e car il n'existe pas d'expression analytique de cette int´grale. [...]

[...] Soit F et G des primitives des fonctions continues f et g. La d´riv´e de F G est F g + f G. On en d´duit la formule d'int´gration e e e e par parties. b b f G dx + a a F g dx = F G F G . Si f est continue sur avec a et b on d´finit e l'int´grale impropre par. e b c v f dx = lim a u f dx + lim c f dx, c un point quelconque de si ces deux limites existent. [...]

[...] Cette loi apparaˆ comme un cas extrˆme de la loi binomiale B ıt e quand n est tr`s grand et p tr`s petit. e e Exemple 7 Sous certaines hypoth`ses simplificatrices, le nombre de fautes e de frappe que fait une dactylographe exerc´e dans un texte long suit une e loi de Poisson. On utilise l'approximation ln valable au voisinage de 0 pour obtenir cette approximation. Si k est petit vis ` vis de n a 4 pk (np)k . [...]

[...] = k=1 pk = 1 Pour tout sous-ensemble A on pose P = xk pk la somme se fait pour tous les indices k tels que xk A. u Exemple 1 Pour mod´liser un non truqu´, on pose e e e pk = P = = = On a par exemple P pair) = k pair pk = 1/2. D'apr`s l'appendice 4 du chapitre 2 on peut faire des sommations e par paquets de nombres positifs. Dans l'exemple ci-dessous, les paquets sont l'ensemble des entiers pairs et l'ensemble des entiers impairs Exemple 2 Supposons que pk = P = = 1/2k+ = Alors P pair) = P impair) = k=0 k=0 p2k = p2k+1 = k=0 1/22k , 1/22k . [...]

[...] Pour plus de u rigueur, voir l'appendice 2. Le lissage d'une variable discr`te X ` valeurs enti`res k = est e a e fait arbitrairement en la rempla¸ant par une variable continue fictive X c telle que P = = P 0.5 [...]