Cours de Probabilités élémentaires Chap. 3

Résumé du document

Cours de Probabilités élémentaires de Pierre Jacob, Montpellier 2:

1 - Probabilité conditionnelle

2 - Indépendance

3 - Lois lié?es à des suites d'observations indé?pendantes

Extraits

[...] Une suite donn´e de k piles et de n k faces a une probabilit´ e e n pk et il y a suites possibles de piles et de faces. Par k cons´quent pour tout k = n. e P = = n k p . k On dit que X suit la loi Binomiale de param`tres n et p. e La notation usuelle est X B 8 La formule du binˆme de Newton o 1 = + q)n = n k=0 n k p k peut se r´interpr´ter en termes probabilistes, avec S = { e e n k=0 n k p = k n k=0 P = = P = 1. [...]

[...] La probabilit´ de ne tirer e e e e e que des boules rouges est P (R1 R2 . Rn ) = P R1 R1 (R2 ) . P R1 . (Rn KK K = = N N N N 1.4 D´composition selon une partition e Supposons que B Bn soient des ´v´nements deux ` deux incompate e a ibles et que Ω = B1 . Bn . Alors pour tout ´v´nement e e P = P B1 ) + . [...]

[...] Exemple 3 On prend n boules dans un ensemble de N boules qui comporte K boules rouges. On a calcul´ dans l'exemple 5 du chapitre 2 que e la probabilit´ de tirer k boules rouges est e K k N . N n Pour n = on obtient la probabilit´ de ne tirer que des boules rouges: e K n N 0 N n K n N n . N = = Un autre raisonnement pourrait ˆtre le suivant: pour tout soit Ri e l'´v´nement i`me boule tir´e est rouge”. [...]

[...] e Mais si il pleut, quelle est la probabilit´ pour que le vent soit au sud? e La formule suivante permet de r´pondre ` ce genre de question. Des e a ´galit´s e e P = P B P P = P P A on d´duit aussitˆt que si P = 0. e o P A = P B P Formule de Bayes En combinant les deux r´sultats des paragraphes 1.4 et on obtient e la formule de Bayes. Soit B Bn sont des ´v´nements deux ` deux incompatibles tels e e a que Ω = B1 . [...]

[...] e e a e e 2.3 Ind´pendance intuitive e Si on jette plusieurs fois de suite une pi`ce de monnaie, si on jette e plusieurs fois de suite un si on ach`te plusieurs semaines de suite e e un billet de loterie, on r´alise une suite d'exp´riences intuitivement e e ind´pendantes. On peut admettre que les ´v´nements li´s ` chaque e e e e a exp´rience sont ind´pendants. C'est une mod´lisation raisonnable. e e e Exemple 7 On jette deux fois une pi`ce de monnaie bien ´quilibr´e. e e e Les quatre ´v´nements {pile, pile}, {pile, f ace}, ace, pile}, ace, f ace} e e sont ´quiprobables et donc la probabilit´ de faire {pile, pile} est 1/4. e e Au lieu d'utiliser le d´nombrement, on peut utiliser l'id´e d'ind´pendance. [...]