Cours de probabilités élémentaires Chap. 2

Résumé du document

Cours de Probabilités élémentaires de Pierre Jacob, Montpellier 2:

1 - Proportion et probabilité uniforme sur un ensemble fini

2 - Définition générale d'une probabilité

3 - Probabilité uniforme et dénombrement

4 - appendice : séries à termes positifs

5 - Exercices non corrigés

Extraits

[...] Discuter. e Exercice 16 Un placard contient dix paires de chaussures. On prend au hasard huit chaussures. Quelle est la probabilit´ pour qu'il n'y ait aucune paire parmi les huit e chaussures? Quelle est la probabilit´ pour qu'il y ait exactement une paire parmi e les huit chaussures? [...]

[...] L'ensemble des tirages ayant k boules rouges et n k boules noires a n donc pour efffectif K k . k 6 La probabilit´ de tirer k boules rouges (ou n k boules noires) est e donc. n K k n . k En posant p = K/N , on a n k p k 4 Appendice: s´ries ` termes positifs e a k Soit (un ) une suite de nombres 0. La suite Sk = n=0 un est croissante. [...]

[...] ıtes e Combien de r´partitions discernables peut-on constituer? e 4)Combien de r´partitions diff´rentes ne laissant aucune boˆ vide e e ıte peut-on constituer? Exercice 11 On reprend ici l'exemple 5 et ses notations. Les trois questions sont ind´pendantes. e Retrouver le r´sultat de l'exemple 5 en consid´rant des arrangee e ments plutˆt que des combinaisons. o n N N K N N V´rifier l'´galit´ e e e / = / . k K K k n 9 D´montrer que e N n = n k=0 K k N . [...]

[...] Quelle est la probabilit´ pour que c e un joueur donn´ re¸oive un as exactement e c un joueur donn´ re¸oive un as au moins e c un joueur donn´ re¸oive un as et un roi exactement e c chaque joueur re¸oive un as c Exercice 8 L'ann´e ´tant suppos´e durer 365 jours, quelle est la probe e e abilit´ pour que dans une classe de r deux au moins soient le e ee e mˆme jour? (Pour r = 23 cette probabilit´ est sup´rieure ` 1/2.) e e ea e a Exercice 9 On place hasard” r objets dans n boˆ num´rot´es de ıtes e e 1 ` n. a Calculer la probabilit´ pour que la boˆ 1 reste vide. [...]

[...] Exemple 7 Pour toute suite d'´v´nements deux ` deux incompatibles e e a A A la s´rie n=0 P (An ) est convergente et de somme P ( An e n=0 Donc P (An ) 0 si k P An = n=k n=k On peut d´composer une s´rie ` termes positifs en sommes de souse e a s´ries ` termes positifs. Par exemple, soit (un ) une suite de nombres e a n=0 n=1 un = n=0 n=1 u2n + un + n=0 n=2 u2n+1 n=3 nun = un + un + etc . Ces propri´t´s seront utiles dans les chapitres suivants. [...]