Equations différentielles du premier et du second ordre

Résumé du document

Cours de Mathématiques (Terminale S) sur les équations différentielles du premier et du second ordre. Des exemples sont présentés.

Extraits

[...] D'où f : x a A exp + i + B exp i x a exp (α ( A exp bx) + B exp i bx) ) x a exp (αx) ( A (cos + i sin + B (cos bx) i sin ) x a exp (αx) ( + cos + i sin ) Si A et B sont des nombres complexes conjugués, alors A + B vaut 2 Re + est donc un réel Et A B = 2i Im ; donc i est aussi un réel. [...]

[...] On admet que si u et v sont des fonctions numériques de la variable réelle la dérivée de la fonction à valeurs complexes g définie sur R par g = u + i v est dérivable sur R et que sa dérivée est : g' : x a u' + i v' Exemple : si f : x a exp + i d'où f = exp (αx) exp bx) Pour tout réel f = exp (αx) (cos + i sin = exp (αx) cos + i exp (αx) sin donc pour tout reel f '(x) = α exp(αx) cos(bx) b exp(αx) sin(bx) + i (αexp(αx) sin(bx) + bexp(αx) cos(bx) = α exp (αx) (cos + i sin + i b exp (αx) (cos + i sin = (α + i exp (αx) exp bx) On en déduit que x a exp (où r C et x est dérivable sur R et que sa dérivée est x a r exp On admet aussi que si f et g sont deux fonctions à valeurs complexes dérivables sur alors f + g et fg sont dérivables sur R et + g)' = f ' + g' et (fg)' = f 'g + fg'. En reprenant les résultats du premier cas, les solutions sont les fonctions du type x a A exp ( r1 + B exp ( r2 ; A et B étant des nombres complexes. avec r1 = α + i b et r2 = α i b. [...]

[...] Et pour tout réel g' = f ' exp ( x ) + f exp ( α α α b b = ' + f ) exp ( α α b 1 = (α f ' + b f ) exp ( α α Or f est solution de donc pour tout réel α f ' + b f = 0 On en déduit que g' : x a donc g est une fonction constante. b Conclusion : la solution générale de α y' + b y = 0 est f : x a A exp x ) où A est un réel. [...]

[...] Equations différentielles I Introduction Définition : Une équation différentielle est une équation d'inconnue y = f dans laquelle figure a fonction mis pour f sa dérivée (y' pour f ' ,sa dérivée seconde (y'' pour f '' ? Exemples : y' + 5y = 0 2y'' y' + 3y = 0 Pour ces deux équations, existe-t-il des solutions qui sont des fonctions polynômes du second degré. des fonctions de la forme x a cos des fonctions de la forme x a sin des fonctions de la forme x a e rx . [...]

[...] α b Remarque : si de plus la solution cherchée doit satisfaire la condition f = alors b = A exp α b b b D'où A = b exp( ; la solution est donc x a b exp( exp x α α α III Equations différentielles linéaires à coefficients constants du second ordre sans second membre. Définition On appelle équation différentielle linéaire à coefficient constants du second ordre sans second membre, toute équation de la forme ay'' + by' + c = 0 où b et c sont des réels donnés, a étant non nul. y est l'inconnue cherchée, y' et y'' sa dérivée et sa dérivée seconde. [...]