Cours de géométrie analytique - publié le 17/08/2008

Résumé du document

Cours de géométrie analytique de prépa. 40 pages. Avec exercices et corrigé.



Plan:

1) LA DROITE DANS L'ESPACE

2) LE PLAN DANS L'ESPACE

3) SPHÈRES, CÔNES, CYLINDRES

4) CONIQUES DANS LE PLAN

Extraits

[...] Nous appellerons axe focal la droite ( de P passant par le foyer F et orthogonale à la directrice D. Vu la définition de C et les propriétés des réflexions par rapport à une droite, il est clair que ( sera axe de symétrie pour la figure étudiée. En effet, si M' désigne le symétrique orthogonal de M par rapport à le projeté orthogonal de M' sur D sera également le symétrique H' de H par rapport à ce même axe Les réflexions conservant les distances et F situé sur ( étant son propre symétrique, on en déduit l'équivalence : Ainsi M ( M'=S(M) (C. [...]

[...] Si t non nul on considère alors ( de défini par le système : . ( Système effectivement résoluble vu que la somme des carrés des seconds membres égale 1 en vertu de l'équation cartésienne du départ Le point M apparaît alors comme le point du cône précédent défini par le couple de paramètres t). La relation donnée plus haut caractérise donc parfaitement l'appartenance au cône étudié On sait que le point appartient à la sphère de diamètre si et seulement si le produit scalaire est nul, ce qui conduit à l'équation cartésienne : L'intersection de cette sphère avec la sphère S de centre O et de rayon r sera donc précisée par résolution du système des deux équations : Par différence élémentaire on obtient le système équivalent : Ceci nous ramène au problème classique de la section de la sphère S par le plan P d'équation y+5z-5=r². [...]

[...] Le point d'intersection de P avec D est donc 9). La direction vectorielle F de P est au vu de l'équation cartésienne, l'orthogonal du vecteur normé = . La direction de la projection orthogonale ( de D sur P est quand à elle engendrée par le projeté orthogonal de sur F , soit : = . Les calculs conduisent à : . La droite ( est donc maintenant parfaitement déterminée par le couple Le cône cherché a nécessairement pour sommet intersection de l'axe D avec la génératrice Son demi angle au sommet ( s'obtiendra facilement par la relation : Les calculs donnent . [...]

[...] La discussion est bien connue et repose sur Pythagore : Pour tout M de Par suite M(S ( ( = En posant =-r4+16r²+25 dont l'étude de signe est élémentaire, on conclura : _ Si ( Le plan P ne coupe pas la sphère S. L'intersection est vide. _ Si r ) = Le point H est le seul point commun. Le plan P est tangent en H à S. _ Si ( 0. L'intersection est le cercle du plan P de centre H et de rayon 11. Traduisons les hypothèses. _ La droite G doit s'appuyer sur c'est à dire contenir un des points de cette droite, soit vu le système d'équations : un point avec t réel quelconque. [...]

[...] Réciproquement, toute équation du type : ux+vy+wz=( , avec triplet non identiquement nul caractérise bien un plan affine. En effet la forme linéaire l définie sur R3 par (ux+vy+wz est non nulle, donc surjective et admettant pour noyau un plan vectoriel de R(R. Si on désigne par y0, z0) un antécédent pour l de ( et par ; (', (') un couple de triplets engendrant le noyau de les solutions de l'équation étudiée seront les triplets du type y0, (', (') avec couple arbitraire de réels. [...]