Les nombres complexes en Mathématiques (niveau Terminale)

Résumé du document

Cours de Mathématiques (Terminale S) sur les nombres complexes. Définitions, propriétés, partie réelles et imaginaires, conjugué, représentation géométrique d'un nombre complexe, notion de modules et d'arguments sont présentés.

Extraits

[...] Ils étaient en fait les précurseurs des nombres complexes Introduction Considérons dans l'équation = elle n'a pas de solution. On essaie de trouver un ensemble de nombres plus grand que où cette équation admet au moins une solution notée i. On aura donc = car on demande à ce nouvel ensemble d'avoir les mêmes opérations avec les mêmes propriétés que celles de . Cet ensemble contient donc i et -i. De plus 2i, 3i, 4i, ai sont des éléments de ce nouvel ensemble. [...]

[...] On appelle argument de z tout nombre réel x tel que: z = . Théorème: Si z est un nombre réel, il existe un nombre réel positif r et un nombre réel x tel que z = r (cos x + i sin x). x sera appelé l'argument de z et sera noté arg(z) Propriétés: si k est un réel positif, arg = arg modulo 2 Pi si k est un réel négatif, arg = arg + Pi modulo 2Pi arg(1/z) = - arg(z) modulo 2 Pi arg(z/z') = arg(z) arg(z') modulo 2Pi arg(zn) = n arg(z) modulo 2Pi Remarque: on peu aussi utiliser une écriture exponentielle, eix = cos x + i sin donc pour t out nombre complexe il existe un nombre r positif et un nombre x tel que z = r eix. [...]

[...] A tout point du plan on peut associer un nombre complexe et réciproquement. Ainsi au nombre complexe z on associe le point M ( Re z , Im et on dira que le point M est d'affixe z. Du point de vue pratique, la partie réelle est l'abscisse. La partie imaginaire est l'ordonnée. On peut aussi associer à tout nombre complexe z un vecteur de composante (Re Im z). Propriété: Soit A un point d'affixe a et B un point d'affixe alors a pour affixe b-a Module Soit z un nombre complexe, il existe deux nombres réels a et b tels que z = a + ib. [...]

[...] Lois dans ce nouvel ensemble: soient b et des nombres réels, on aura alors: + + + i = aa' bb' + i 2. Parties réelles et imaginaires Pour tout élément de la forme a+ib on dit que a est la partie réelle et que b est la partie imaginaire. On pourra noter a = Re(a+ib) = et b = Im(a+ib)= . Propriété: Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire Conjugaison Soit z un élément de , il existe alors deux nombres réels a et b tels que z=a+ib Définition: le conjugué de noté vaut a-ib Conséquences: Le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués Le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués Propriétés: z est réel si et seulement si z imaginaire si et seulement si 4. [...]