Les complexes - publié le 25/01/2016

Thèmes abordés

Complexe, mathématiques, formule, Moivre, Euler

Résumé du document

Considérons l'équation x² + 1 = 0.
Nous savons qu'elle n'a pas de solution dans l'ensemble des réels.
Pour la résoudre, on passe dans l'ensemble des complexes et on utilise une inconnue particulière, appelée i, comme « imaginaire ». On définit donc i par l'équation i² = -1.

Extraits

[...] Les complexes 1 Généralités a ) Introduction Considérons l'équation + 1 = 0. Nous savons qu'elle n'a pas de solution dans l'ensemble des réels. [...]

[...] Pour la résoudre, on passe dans l'ensemble des complexes et on utilise une inconnue particulière, appelée comme imaginaire On définit donc i par l'équation = - b ) Les différents types d'écriture Un nombre complexe z non nul admet trois types d'écriture : Forme algébrique : z = a + ib Forme trigonométrique : z = ρ (cos θ + isin θ) Forme exponentielle : z = ρeiθ Avec : - a et b des nombres réels a la partie réelle de z : a = Re(z) b la partie imaginaire de z : b = Im(z) θ l'argument de z : θ = Arg(z) - cos θ = 𝒂 𝝆 & sin θ = 𝒃 𝝆 soit θ = arctan 𝒃 𝒂 Axe des imaginaires 2 Représentation graphique M b ρ θ Axe des réels a a ) Propriétés Distance entre deux points : La distance entre deux points A et B se calcule grâce à la formule : AB = z 𝑩 - z 𝑨 Milieu d'un segment : L'affixe I du milieu d'un segment est la moyenne des affixes de A et de B : 𝐳 𝐈 = 𝐳 𝐀+ 𝐳 𝐁 𝟐 3 Conjugué d'un complexe Soit z = a + ib. Son conjugué, noté z est égal à z = a ib . [...]