Comparaisons des suites et fonctions

Thèmes abordés

Mathématiques, théorème de Taylor-Young, Sciences - Ingénierie - Industrie, développement limité, suites équivalentes, équivalence polynomiale, limite de suite, fonction négligeable, fonction dominée, intégration d'une fonction

Résumé du document

Ce document comporte des résumés de cours de mathématiques portant sur la comparaison des suites et des fonctions ainsi que les développements limités.

Extraits

[...] + ap n p ; U n ~ ap n p ⇢ ​Limite de suite : lim U n = l ⇒ U n ~ l - U n ~ V n et lim V n = l ⇒ lim U n = l ⇢ U n = o(V ⇢ V n = o(An) ⇒ U n = o(An) MATHS Développements limités ∀x ∈ I ; f = ∑ k=0 f (xo ) k n − xo ) + oxo − xo ) ) k ⇢ I​ ntégration d'un DL Soit f continue sur Df ; xo ∈ Df tq f admet DLn(x​o​) avec n n f = ao + a1 − xo ) + . [...]

[...] + an − xo ) + − xo ) ) x ⇒ a n n − xo ) + − xo ) ) ∫ f (t)dt = ao − xo ) + a2 − xo )² + . [...]

[...] (α−n+1) n x n k=0 n ∑ (− x)k + o(xn ) k=0 + o(xn ) n ln(1 + x)=x→0 ∑ (− 1)k+1 xk + o(xn ) + o(xn ) n n ∑ (− 1)k x2k + o(x2n ) + . + (− 1)n−1 22n−1(2n−2) xn + o(xn ) (n−1) n k k=1 tan(x)=x→0 x + x Arctan(x)=x→0 ∑ (− 1)k 2k+1 + o(x2n+1 ) 2k+1 x + o(x3 ) k=0 UTILISATION DE DL n k n ⇢D ​ Ln(x​o​) ∀x ∈ Df ⋂ V ; f = ∑ ak − x0 ) + oxo − xo ) ) k=0 - si f est dérivable en alors f = f + f ′(0)x + oo ➢ ​Méthode pour effectuer DLn(x​o​ ) pour x​o 0 : on pose h = x − xo ⇔ x = h + xo ainsi x → xo et donc h → 0 on effectue le DL avec h à la fin, revenir à x ⇢T ​ aylor-Young soit P une fonction polynomiale de degré n n - en α : P = ∑ k=0 P (α) k k − α) ⇢T ​ HM de Taylor-Young Soit f de classe C​n​ sur I ; xo ∈ I ; DLn(x​o​) : n - « nβ « an « n « nn 1 1+x =x→0 k=0 k=1 ⇢ U n = o(V ⇒ λU n = o(V produit n ∑ xk + o(xn ) n multiplication par V n 1 1+x² =x→0 α(α−1) 2 x² 2k k=0 + o(xn ) ln(1 − x)=x→0 ∑ ( VU nn 0 est bornée. [...]

[...] Comparaisons des suites et fonctions MATHS Comparaisons des suites et fonctions COMPARAISON ENTRE SUITES ⇢ ​Suites équivalentes Un e − 1 ~ Un PAR COEUR ​ U n ~ V n ssi​ lim U n n→+∞ V n ln(1 + U ~ U n + U n)α − 1 ~ αU n sh(U ~ U n n cos(U − 1 ~ − U n² 2 ch(U − 1 ~ U n² 2 sin(U ~ U n tan(U ~ U n Arcsin(U ~ U n Arctan(U ~ U n n→+∞ n→+∞ ex =x→0 ∑ 1−x =x→0 Un∿Vn ⇔ Un=Vn + o(Vn) ⇢ ​Négligeable U n est négligeable par rapport à V n : U n = o(V ⇔ VU nn → 0 ⇢ ​Dominé U n est dominée par V n : U n = Θ(V ⇔ transitivité = o(An) ⇢ U n = o(An) ⇒ U nV n = o(AnV λo(V = o(V V n o(An) = o(V n An) ⇢ U n = o(An) ⇢ V n = o(Bn) ⇒ U nV n = o(AnBn) o(U n)o(V = o(U n V puissance ⇢ U n = o(An) ⇒ U nα = o(V nα ) o(U nα ) = o(V nα ) somme ⇢ U n = o(An) ⇢ V n = o(An) ⇒ U n + V n = o(An) o(An) + o(An) = o(An) MÊMES PPR POUR Ө ⇢ ​Hardy : β √1 + x=x→ + x 2 − −xk k x² 8 + . + α(α−1) . [...]