Le barycentre en Mathématiques

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur le barycentre (niveau Première) permettant de faire tous les exercices des livres de mathématiques.

Extraits

[...] Propriété : Etant donné deux points A et B (du plan ou de l'espace) , munis de deux ,nombres tels que Il existe un unique point G tel que , Le Point G est appellé barycentre des points pondérés Propriété : Le barycentre G de deux points pondérés est aligné avec A et Car et sont colinéaires Coordonnées : Dans le plan muni d'un repère orthonormé Si , le barycentre g de a comme coordonnées Dans l'espace muni d'un repère , le barycentre de a comme coordonnées Propriété : Si G est aligné avec deux points, A et B distincts, alors il existe deux poids a et b tels que G soit le barycentre de Propriété : Si G est barycentre de deux points pondérés il est aussi le barycentre de pour tout réel non nul k III) Barycentre de trois ponts Propriété : SI sont trois points pondéres tels que alors il existe un seul et unique point G tel que Plus générélement si , sont points pondérés avec Il existe un point G apellé barycentre tel que Remplacement : Si G est barycentre de SI (avec ) et H Le barycentre de (avec ) alors G est le barycentre de Isobarycentre : Barycentre de deux points avec un poids identique : par exemple IV) Applications Simplification d'expression , avec introduction d'un barycentre Ex : Pour On raisone par équivalences Lieu Géométrique Etant donné un point C et un nombre strictement positif l'ensemble des points M tel que Est le cercle de centre C et de rayon R Si M a la droite passant par C a Détermination du centre d'inertie Cas du triangle . Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes. Soit I le Milieu de BC , alors la médiane AI sépare le triangle en deux sous triangles de meme surface. Donc le centre d'inertie se trouve sur la médiane. Donc le centre d'inertie est a l'intersection des médianes. C'est le centre de gravité (pour les triangles). [...]

[...] Deux vecteurs sont colinéaires seulement si (Relation de Proportionalité) et seulement si il existe un réel K tel que Relation de Chasles : et Généralisation de cas particuliers Pour équilibrer une baguette avec 2 poids identiques a ses extrémités, on la soutient en son milieu. Un barycentre n'est pas toujours au milieu des points considérés. Dans un triangle ABC, le centre de gravité G est défini par la relation GA+GB+GC=0 Le centre de gravité permet d'équilibrer le triangle muni de points identiques a chaque sommet. II) Barycentre de 2 points. [...]

[...] Pour un parallélogramme, le centre d'inertie est le isobarycentre des deux triangles créés dans le parallélogramme par une diagonale. Cas du Trapèze : Le centre d'inertie du trapèze se trouve sur le segment qui relie les milieux des deux bases. Le centre d'inertie n'es en général pas a l'intersection des diagonales. Cas du Disque : Le centre d'inertie se trouve au centre du disque. Composition : On cherche a trouver des barycentres dans une figure complexe pour créer des triangles dont on cherchera le barycentre. [...]

[...] (Ici on cherche le barycentre du triangle bleu. Cas de L'évidement. On cherche a trouver le barycentre d'une figure compexe en la transformant en figure simple. Ici, A est le centre d'inertie du grand carré et b le centre du carré retiré Le centre d'inertie de la plaque est le barycentre de Utilisation d'un repère Dans le plan Si sont deux vecteurs non colinéaires , le triplet forme un repère du plan donc tout vecteur (dans ce plan) peut s'écrire sous la forme Donc pour tout point M du plan, on peut trouver x et y tel que donc Donc M est le barycentre de Et réciproquement, Tout barycentre de point du plan s'exprime a partir de vecteurs de se plan , donc il est repéré dans ce plan, donc il appartiens au plan Dans l'espace Si B , C et D sont 4 points non coplanaires , les Vecteurs, définissent un repère de l'espace avec le point A. [...]