Aristote ou la première élaboration dialectique des mathématiques

Résumé du document

Il s'agit d'un cours intégralement rédigé en philosophie des sciences ayant pour objet d'étude "Aristote ou la première élaboration des mathématiques".
Ce document à vocation pédagogique, très structuré s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en philosophie, mathématiques, Histoire & philosophie des sciences, Lettres classiques, littérature grecque et bien entendu tout(e) autre intéressé(e), souhaitant approfondir ses connaissances.

Voici le plan :

Introduction.
I). La critique des objets mathématiques dans leur acception platonicienne

II). L'accent mis sur l'activité du mathématicien impose une conception critique et dialectique des mathématiques
A. Les « sensibles communs »
B. La technique des mathématiques
C. Mémoire et imagination
D. Démonstration et vérité
E. Une conception « dialectique » des mathématiques

III). Les points délicats de la conception aristotélicienne des mathématiques
A. La question des genres
B. Plus délicate est la question de l'ordre
C. La limitation dialectique à la troisième dimension
D. La question de la temporalité des êtres mathématiques

IV). Premiers éléments d'une « théorie des fictions »

Extraits

[...] Mais une lecture de Sextus Empiricus fait bien ressortir l'avancement de la théorie des fictions chez Aristote lorsqu'il met en cause la méthode de soustraction qui est celle même pratiquée par l'imagination dans l'abstraction mathématique. Très habilement, l'auteur de Contre les professeurs fait ressortir que cette méthode brouille l'identité du sujet et fait entrer dans une tout autre logique que celle de l'attribution d'un caractère à une substance et, pour tout dire, à ses yeux, dans d'insupportables contradictions Sur deux points qui nous retiendront particulièrement dans notre dernière partie, Aristote trace le sillage décisif. [...]

[...] En vérité, comme Pascal le démontrera avec brio, c'est par la transplantation des vérités d'un genre dans un autre que l'on peut obtenir les résultats les plus forts. Il faut savoir lire arithmétiquement ou dynamiquement des grandeurs géométriques pour venir à bout des délicats problèmes de centres de gravité. De même, une lecture géométrique de quelques opérations arithmétiques permet d'imaginer des solutions, à tel point qu'il est souvent plus facile de démontrer les théorèmes qui conviennent à la géométrie sur le terrain de l'arithmétique, le véritable travail du géomètre étant d'opérer la jonction ou le « tuilage » des méthodes. [...]

[...] Ce point ne laisse pas d'étonner chez Aristote pour qui, précisément, les objets mathématiques ne sont séparables ni des actes pour les peser et les penser, ni du devenir des sensations. Cette métamorphose d'un soubassement génétique de temporalité continue en une production de temporalité strictement discontinue est surprenante ; elle s'explique par l'état de la géométrie grecque de son temps, en particulier par son rejet de l'infini de grandeur ; 24 Selon un argument que nous avons déjà rencontré et que n'oubliera pas Sextus Empiricus, qui tentera de le tourner contre les géomètres eux-mêmes (Contre les professeurs, III, 60-64) mais elle sera vite démentie par la physique et la géométrie d'Archimède, qui ne pourront plus se comprendre sans une temporalité plus longue que celle de l'instant25. [...]

[...] Et puis il s'ingénie à montrer que les mathématiques, lieu où la démonstration paraît la plus naturelle, ne satisfont guère à ces conditions, non seulement parce que les axiomes sont trop connus pour être énoncés, mais encore parce que « cette science peut se dispenser de poser l'existence du genre si cette existence est manifeste » ; or l'exemple qu'il prend aussitôt et qui témoigne bien de l'embarras où il se trouve pour ce qui est des objets mathématiques est celui des nombres « dont l'existence n'est pas aussi évidente que celle du froid et du chaud ». Toute la difficulté est de comprendre qu'une attribution peut être vraie sans que les objets sur lesquels elle porte aient un autre statut que celui de fictions. Que l'objet soit fictif n'attire pas dans son gouffre l'attribution. Mais comment l'ontologie peut-elle revenir en force par les propositions et les jugements alors que ceux-ci portent sur des termes qui assurent une déficience ontologique ? [...]

[...] C'est même une tâche fondamentalement dialectique –prise dans un sens moderne, lequel renvoie volontiers au sens aristotélicien- qui doit être entreprise par l'intelligence. Le philosophe ne peut tenir pour séparé ce que le mathématicien tient comme tel sans inconvénient : on trouve déjà ici une attitude qui sera parfois plus embarrassée sous la plume des philosophes classiques comme Locke et Hume, par exemple. Mais, pour être cohérentes et claires, les conceptions aristotéliciennes n'en ouvrent pas moins des chemins difficiles que les philosophes que nous venons de citer ne laisseront pas d'approfondir, sans se poser nettement en continuateurs d'un auteur devenu gênant pour d'autres raisons. [...]