Applications linéaires MPSI

Résumé du document

Le cour suivant traite la notion des applications linéaires qui représente un petit paragraphe de l'algèbre linéaire. Ce cour contient 6 pages donnant des définitions et des opérations, des remarques, des propositions, des démonstrations et des exercices d'applications.

Important pour la maîtrise et la révision des applications linéaires, il donne les notions basiques et essentielles des applications linéaires avec des démonstrations et des exercices d'applications pour bien maîtriser les applications linéaires.

Extraits

[...] Proposition 16. Supposons que E = F ⊕ G et sF est la symétrie par rapport à F parallèlement à G. on a : 1. sF ∈ 2. s2F = IdE et sF ◦ sG = −IdE ker(sF − IdE ) = F et ker(sF + IdE ) = G sF est un automorphisme de E et sF = sF − Démonstration. En exercice. Proposition 17. Soit s ∈ on a : Si s2 = IdE alors E = ker(s − IdE ) ⊕ ker(s + IdE ) et s est la symétrie par rapport à ker(s − IdE ) parallèlement à ker(s + IdE Démonstration Soit x ∈ ker(s − IdE ) ∩ ker(s + IdE ) alors − x = + x = 0 ce qui implique que x = −x donc x = d'ou ker(s − IdE ) ∩ ker(s + IdE ) = {0E } Soit x ∈ E on sait que x = 12 + + 12 − . [...]

[...] f (λx) = λf On note F ) l'ensemble des applications linéaires de E dans F . Exemple Lorsque E = F = R l'application f : x 7→ 5x est linéaire L'application f : R → R est linéaire. 7→ + x − 3. L'application f : Rn → R est linéaire. Pn xn ) 7→ x k k=1 L'application f : R2 → 7→ R est un isomorphisme. + x − L'application f : R2 → 7→ C est un isomorphisme. [...]

[...] Soit f ∈ F Remarque On appelle noyau de f l'ensemble : ker(f ) = f −1 = ∈ f = 0F ◦ n'est pas commutative sur On appelle l'image de f l'ensemble : Im(f ) = f = ∈ ∃x ∈ f = y}. Proposition 2. Si f : E → F est linéaire et bijective alors f −1 : F → E est aussi linéaire. Dans ce cas, on dit que f est un isomorphisme entre E et F (et E et F sont isomorphe). On note Isom(E, F ) l'ensemble des isomorphismes de E dans F . [...]

[...] coordonnées de x dans la base B. On peut vérifier facilement que f est linéaire et f (ek ) = fk pour tout k ∈ I. Montrer que rg(f ) = dim(F ) ⇐⇒ f surjective G des K-ev de dimension finie et f ∈ F ) et g ∈ G).Montrer que : f surjective =⇒ rg(g ◦ f ) = rg(g). Corollaire 4. Si E et F sont de dimension finie tel que dim(E) = dim(F ) alors E et F sont isomorphe. [...]

[...] trivial Proposition 15. On a sF = −sG et sF = 2pF − IdE trivial 5 Pr.Abdellatif elouarrate CPGE MY ABDELLAH-SAFI Les applications linéaire MPSI Démonstration. — Soit x ∈ on a x = xF + xG donc sF = xF − xG et sG = xG − xF . d'ou : sF = sG . — on a sF = xF − xG = 2xF − (xG + xF ) = 2pF − x. donc sF = 2pF − IdE . [...]