Applications linéaires et changement de base

Thèmes abordés

Application linéaire, rang d'une application linéaire, matrice d'une application linéaire, changement de base, matrice de passage, endomorphisme, méthode des matrices semblables, base canonique, vecteur, expression matricielle, image d'un vecteur, théorème du rang

Résumé du document

Cette fiche de mathématiques vous offrira un support de révision idéal sur les applications linéaires et les changements de bases.

Extraits

[...] 8n 2 1 ) = atB,C 1 M atB k ) = atB,C Changement de base On pose: P = M atB 0 ) Matrice de passage Soit B = · · · , en ) et B 0 = · · · , e0n ) Soit Q la matrice de passage de B’ ` La matrice de passage de B ` a B’ est: P = M athB 0 ) La matrice de passage de B’ ` a B est : P La matrice de passage de B ` a B” est: 1 = M atB0 P Q = M atB 00 ) Changement de base d’un vecteur M atB = M atB 0 ) ⇥ M atB0 Remarque: En pratique on cherche surtout; M atB0 = M atB0 ⇥ M atB Changement de base d’un endomorphisme Soit A = M atB ) et B = M atB0 B=P 1 AP M atB0 ) = M atB0 ⇥ M atB ) ⇥ M atB 0 ) Remarque: On a de plus; Bn = P 1 An P Matrices semblables Soit A et B dans Mn A et B sont semblables s’il existe une matrice inversible P telle que: • A=PBP 1 Remarque: • Toute matrice est semblable ` a elle-mˆeme • Si A et B sont semblables et Bet C sont semblables alors A et C sont semblables Matrices semblables et endomorphisme Soit A et B dans Mn Soit f une endomorphisme, B une base de E et A atB A et B sont semblables s’il existe une base B’ de E telle que: B = M atB0 ) 2 matrices sont semblables si elles repr'esentent le mˆ eme endomorphisme dans 2 bases di↵' erentes M'ethode matrices semblables 1 2 2 0 et B = 1 4 0 3 Soit f l’endomorphisme repr'esent'e par A dans la base canonique C = e2 A et B sont semblables 9 B = ) tq: B = M atB ) On veut: Soit A = f ) = 2"1 f ) = 3"2 • On cherche = x 2x y 2y x 2y = 2x x + 4y = 2y x = 2y x = 2y On peut prendre = ( . • On cherche = x 3x y 3y x 2y = 3x x + 4y = 3y y y On peut prendre = . [...]

[...] dim Ker f + dim Im f = dim E Application lin'eaire entre espaces de mˆeme dimension Soit E et F deux espaces vectoriels de mˆeme dimension finie f une application lin'eaire de E dans F f injective f surjective f bijective Exemple: Montrer qu’une application lin'eaire est un isomorphisme il suffit de montrer l’injectivit'e ou la surjectivit'e si dim E = dim F Matrice d’une application lin'eaire Soit B = · · · , en ) On appelle matrice repr' esentative de f dans les bases B et C : M atB,C ) = M atC = M atC (e1 · · · , f (en Pour un endomorphisme on a une matrice carr'ee not'ee M atB ) Expression matricielle de l’image d’un vecteur M atC = M atB,C ) ⇥ M atB Lien matrice endomorphisme Soit F et G dont les bases sont B,C et D. Soit f 2 L F ) et g 2 L M atB,D f ) = M atC ⇥ M atB,C ) • f isomorphisme M atB,C ) inversible M atB,C • Soit f un endomorphisme. [...]

[...] f une application lin'eaire de E dans F f est une famille g' en' eratrice de Im f donc : Imf = V ect(f (e1 · · · , f (en Isomorphisme et image d’une base • Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et B = · · · , en ) une base de E. f une application lin'eaire de E dans F f est un isomorphisme de E dans F f est une base de F • Soit E et F de dimension finie, S’il existe un isomorphisme de E dans F alors dim E = dim F Rang d’une application lin'eaire Soit E de dimension finie f une application lin'eaire de E dans F Rg f = dim (Im f ) Soit B = · · · , en ) une base de E alors: Rg f = Rg(f (e1 · · · , f (en = Rg(f Th'eor`eme du rang Soit f une application lin'eaire de E (de dimension finie) dans F. [...]

[...] Si f : E F et g : F G sont lin' eaires alors, g f : E G est lin' eaire Noyau et image Soit E et F deux K-espaces vectoriels. f une application lin'eaire de E dans F • Le noyau de f est l’ensemble des vecteurs de E d’image nulle par f : Kerf = 2 f = 0F } • L’image de f est l’ensemble des images des vecteurs de E par f : Imf = u 2 Propri'et'e Noyau et Image • Ker f est un sous-espace vectoriel de E • Im f est un sous-espace vectoriel de F Injectivit'e et Surjectivit'e • f est injective , Ker f = {0E } , Rg f = dim E • f est surjective , Im f = F , Rg f = dim F Image d’une application lin'eaire et d’une base Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et B = · · · , en ) une base de E. [...]

[...] Applications linéaires et changement de base Applications lin'eaires Application lin'eaire Soit E et F deux K-espaces vectoriels. Une application f de E dans F est lin' eaire si elle v'erifie: 8(↵, ) 2 K 2 F 2 , Iso; Endo et Automorphisme Endomorphisme: Une application lin' eaire de E dans E est un endomorphisme Isomorphisme: Une application lin' eaire bijective est une isomorphisme Automorphisme: Un endomorphisme bijectif est un automorphisme Composition d’application lin'eaire Soit F et G trois espaces vectoriels surK. [...]