Les anneaux

Résumé du document

Ce document est un cours sur les anneaux de niveau Bac+3. Les notions suivantes sont abordées : idéaux, idéaux premiers et maximaux, localisation, divisibilité, anneaux euclidiens, principaux, factoriels et noethériens.
Toutes les notions sont rigoureusement définies et les propositions et théorèmes explicités.

Extraits

[...] e e Tout morphisme d'anneaux se factorise de fa¸on unique : c A ker f f O / Im f f f : ker f Im f est un isomorphisme d'anneaux. u L'ensemble des inversibles d'un anneau A forme un groupe multiplicatif Localisation d'un anneau Dans la suite, A est un anneau commutatif D´finition. e Une partie S d'un anneau commutatif est dite multiplicative si 1 et s ss S. On d´finit la relation d'´quivalence sur A S : e e S : t(av bu) = D´finition. e On appelle localis´ de A en S et on note S A l'anneau A e 2.3 Th´or`me. [...]

[...] e e Soit p : A S A le morphisme canonique = Alors pour tout anneau B et tout morphisme f : A B tel que f B , il existe un unique f : S A B tel que f = f p. / P e e primitif et P irr´ductible dans K[X]. e 3.17 Th´or`me. e e Soit P = a0 + . + an X n et p P un ´l´ment irr´ductible de A tel que p divise les ai pour ee e i [...]