Pôlynomes et fractions rationnelles

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Fiche cours/résumé sur les pôlynomes et fractions rationnelles

Extraits

[...] Remplacer la racine ds P 3. Dériver et remplacer la racine ds P tant que égal à Qd résultat diff de 0 STOP 5. [...]

[...] CHAP.9 : Polynômes et fractions rationnelles 9.1 Introduction aux polynômes Polynôme à coefficients : Ensemble des polynômes notée Avec ai les coefficients du polynôme SI ts les ai nuls alors polynôme nul, noté 0 Degré de P : plus grd entier i tel que ai noté deg P Soit deg 0 = -infinity Polynôme constant : polynôme de la forme P = a0 avec a0ЄK Si a son degré est 0 Monômes : polynômes comportant un seul terme nn nul du type Soit le terme dominant & le coeff dominant de P SI le coeff dominant est alors P est unitaire Tt polynôme = somme finie de monômes Opérations sur les monômes : CommutativiT, associativiT, distributiviT : Opé sur les degrés : 9.2 Arithmétique des polynômes 9.2.1 Division euclidiN Si Q divise tel que P = QS, on note Soit P multiple de Q & P divisible par Q et deg R [...]

[...] AUTRE METHODE : Trouver une racine évidente Faire div euclidiN du polynôme par (X-racine évidente) Obtenir P = (X-racine évidente)(polynôme) Calculer Δ En déduire les racines de P Obtenir la solution finale telle que P = (X-racine évidente)(X-racine1)(X-racine2) pr un Δ>0 par ex Penser à poser = x pr réduire le degré du polynôme et pouvoir faire Δ AUTRE METHODE : Calculer pgcd (à l'aide de la div euclidiN) Utiliser formule AB = pgcd(A,B)xppcm(A,B) ppcm(A,B) = A(X)pgcd(A,B) Remplacer ppcm et pgcd pr obtenir forme facto qui est : A(X)=pgcd(A,B)xppcm(A,B) Penser à mettre ss forme facto le ppcm 9.7 Introduction aux fractions rationnelles Fraction rationnelle : Soit un représentant de F (P1,Q1) et (P2,Q2) représentent la mm fraction rationnelle si P1Q2 = P2Q1 (CAR P1Q1 = P2Q2) l'ensemble des fractions rationnelles à coeff ds K deg F = deg P - deg Q Opé sur les fractions rationnL : Addition : Multiplication : Multiplication par un scalaire : Composition : Opé sur les degrés : Fraction rationnL de degré nul, n'est ps forcément cste, contrairement aux polynômes Dérivé de F : Soit Dérivés successives de F telles que Opé sur les dérivés : 9.7.1 Fractions rationnelles irréductibles Représentant irréductible de F : Tt représentant de F tel que PQ = 1 Polynôme = fraction rationnL particuliR : F = P1 Polynôme nul F = 0Q Fraction rationnelle nn nul si numérateur nn nul 9.7.2 Zéros et pôles d'une fraction rationnelle Zéro de F : Racine de P de multipliciT r Pôle de F : Racine de Q de multipliciT r Si F irréductible, ensemble de zéros et de pôles de F sont disjoints 9.7.3 Parité ou imparité d'une fraction rationnelle Paire : On peut écrire OU = Impaire : On peut écrire OU = SI F paire ou impaire et que a pole de F d'ordre de multipliciT alors aussi pole de F d'ordre de multipliciT r 9.8 Décomposition en éléments simples de nbres rationnels Définition : Ecrire une fraction ss forme d'une somme ou diff de fractions dt le dénominateur est une puissance de nb premier (Nb premier : entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs distincts et positifs ; tel que 7 ou 3 mais ps Elément simple : Tt nb rationnel qui est, soit un nb entier relatif, soit un nb de la forme apl avec l a [...]

[...] Dériver et remplacer la racine ds P tant que égal à Qd résultat diff de 0 STOP 5. p est dc le nb de la dérivé (SI STOP à 4 alors Racine multiple ssi P(α)=P'(α)=0 α racine d'ordre p de P AUTRE METHODE (Ruffini) : Effectuer la méthode de Ruffini avec la racine comme nb à gauche de ligne vertical Répéter l'opération jusqu'à ne plus obtenir 0 come nb en bas à droite L'ordre de multiplication est dc celui de l'étape de dérivation précédente (SI STOP à 4 dérivation alors TheorM d'Alambert-Gauss : P admet autant de racines, comptées avec leur ordre de multipliciT (cad si racine double je la compte 2 fois) que son degré 9.4 Polynômes irréductibles Polynôme irréductible : Polynôme dt les seuls diviseurs de P sont les cstes ou P lui-mm (à une cste multiplicative près) Pr tt Q divisant Q = P Polynôme irréductible pr correspond au nb premier pr Z SNN polynôme réductible P = AB avec deg A1 et deg B 1 Lemme d'Euclide : Soit P un polynôme irréductible, si alors 9.4.1 Théorème de factorisation Tt polynôme nn constant s'écrit comme produit de polynômes irréductibles unitR 9.5 Factorisation dans Factorisation de P sur C : avec coeff dominant de P ; α racine de P et p l'ordre de multipliciT Polynômes irréductibles de sont poly de degré 1 Solutions ss la forme : XK = e 2kPIdegré de P avec k le nb de la racine tel que (sachant que le nb de k = le degré de si degré 4 alors il existe X0, X1, X2, X3) 9.6 Factorisation dans Factorisation de P sur R : avec α racines réelles ; p l'ordre de multipliciT et Q polynômes irréductibles de degré 2 : Polynômes irréductibles de sont poly de degré 1 et de degré 2 ayant un discriminant Δ [...]

[...] p est dc le nb de la dérivé Qd p=1 racine simple ; p=2 racine double . AUTRE METHODE : Appliquer la méthode de Ruffini au polynôme Dériver le polynôme et appliquer de nouveau Ruffini jusqu'à ne plus obtenir 0 en bas à droite p est dc le nb de la dérivé Polynôme scindé : 9.3.1 Dérivation Polynôme dérivé : SI deg P>0 alors deg P'=deg P-1 P constant ssi Propriétés : avec p l'ordre Formule de Leibniz : But : généralise la formule dérivé de 2 polynômes Formule de Taylor : P est finie But : mettre ss forme polynômiale 9.3.2 Caractérisation de l'ordre d'une racine METHODE : SI déjà facto : trouver directement l'ordre de chaque membre, grâce à leur degré SI nn facto : 1. [...]