L'ordre dans IR : les intervalles de IR

Résumé du document

Le document suivant traite les intervalles de l'ensemble IR qui représente la première partie du cour l'ordre dans IR. Il explique les notions essentiels et fondamentales de ce chapitre: la représentation graphique de IR, le tableau récapitulatif des neufs intervalles de IR, l'intersection et la réunion d'intervalles.
Je vois que ce document est très important à le lire, il contient les définitions, les exemples, les remarques, les schémas explicatifs des notions précédentes. Je vous conseille fortement de lire ce document pour maîtriser ce chapitre, puis de travailler les exercices associés à ce cour afin de le maîtriser.

Extraits

[...] On appelle intervalle fermé infini de à ∞, et on note ; ∞ , le sous-ensemble de contenant tous les nombres réels supérieurs à ; le nombre est un élément de ; ∞ . ; ∞ ∈ , Remarques : Le nombre et le symbole ∞ sont appelés bornes de l'intervalle ; ∞ . On observe un crochet ouvert à la borne ∞. Ce n'est pas une erreur. Ce fait peut être considéré comme une convention au niveau de la classe de seconde. Il faut attendre une étude plus approfondie des nombres réels pour avoir une explication cohérente de ce fait. Il contient une infinité de nombres. Sa longueur est infinie. [...]

[...] ; ∪ ; = ; 3 [ Exemple Voici un exemple où on ne peut pas écrire la réunion sous la forme d'un intervalle. ; ∪ ; ne peut avoir une autre écriture : on ne peut l'écrire sous la forme d'un intervalle. Exemple Voici maintenant la réunion de deux intervalles : attention à l'absence du nombre 3 dans la réunion : ; ∪ ; Dans ce cas on ne peut pas écrire la réunion sous forme d'un intervalle. [...]

[...] Si , on adopte la convention : ; ∅ (ensemble vide). Si , alors ; . L'intervalle dans ce cas est réduit à un singleton. Si , alors ; contient une infinité de nombres, mais sa longueur est finie et vaut . On peut en donner la représentation géométrique suivante : Les intervalles ouverts bornés Soit et deux nombres réels. On appelle intervalle ouvert borné de à , et on note ; , le sous-ensemble de contenant tous les nombres réels compris entre et ; les nombres et ne sont eux-mêmes pas éléments de ; . [...]

[...] ∞; ∈ , Remarques : Le nombre et le symbole ∞ sont appelés bornes de l'intervalle ∞; . On observe un crochet ouvert à la borne ∞. Ce n'est pas une erreur. Ce fait peut être considéré comme une convention au niveau de la classe de seconde. Il faut attendre une étude plus approfondie des nombres réels pour avoir une explication cohérente de ce fait. Il contient une infinité de nombres. Sa longueur est infinie. On peut en donner la représentation géométrique suivante : L'intervalle ∞; ∞ . [...]

[...] Cette catégorie contient elle-même deux types d'intervalles •Soit un nombre réel. On appelle intervalle ouvert infini de à ∞, et on note ; ∞ , le sous-ensemble de contenant tous les nombres réels strictement supérieurs à ; le nombre n'est pas un élément de ; ∞ . ; ∞ ∈ , Remarques : Le nombre et le symbole ∞ sont appelés bornes de l'intervalle ; ∞ . Il contient une infinité de nombres. Sa longueur est infinie. On peut en donner la représentation géométrique suivante : •Soit un nombre réel. [...]