Les ensembles des nombres

Résumé du document

Le document suivant explique le cour des ensembles des nombres, il donne des définitions, des exemples et des remarques à propos des notions suivantes: l'ensemble des nombres entiers, des nombres décimaux, des nombres rationnels, des nombres réels, les identités remarquables, les puissance de 10 et l'écriture scientifique.
Je vois que ce document est très important, il balaye toutes les notions essentiels et fondamentales des ensembles des nombres. Je vous conseille fortement de lire ce document pour comprendre ce chapitre, et de travailler exercices associés afin de maîtriser ce chapitre fondamental de l'algèbre.
Je vous souhaite un bon courage dans la compréhension et la maîtrise de ce chapitre !

Extraits

[...] Par exemple : 14 est un nombre décimal mais 59 n'est pas un nombre décimal. Rappelez pourquoi ? • Tout nombre rationnel admet une infinité de représentants, par exemple : = = = Le représentant privilégié est la a car elle est irréductible. Rappelons qu'une fraction avec a ∈ Z et b ∈ est fraction 3 b irréductible si et seulement si a et b n'ont pas de diviseur commun (sauf i.e. pgcd b ) = sont tous des représentants du même nombre rationnel Considérons maintenant le développement décimal de quelques nombre rationnels : 1 = = 1 = = 1 = = 1 = = On observe dans tous les développements décimaux des suites de chiffres qui se répètent indéfiniment. [...]

[...] Les fractions : Proprietes : Soient a,b,c,d quatres nombres reels tels que 2. Les racines carrees : Definition: Soit x un nombre reel positif,la racine carree de x est le nombre positif dont le carre est egal à x. Ce nombre est noté : 1.5 Proprietes : • Si • Si • Si Remarque : s'apelle la quantite conjugue de l'expression Les puissances : Definition: Proprietes : • Si • Si 6. Identités remarquables Pour tous réels a et b , on a : + b)² = a² + b² + 2 ab − b)² = a² + b² − 2 ab + − = a² − b² + b)3 − b)3 = a 3 + b3 + 3 ab 2 + 3 a 2 b = a 3 − b3 + 3 ab 2 − 3 a 2 b a 3 + b3 = + b )(a² − ab + b² ) a 3 − b3 = − b)(a² + ab + b² ) 7. [...]

[...] x = y = (nombre de Champernowne) On dit que ces nombres sont irrationnels. Il existe encore beaucoup d'autres nombres irrationnels comme par exemple : = = e = (nombre de Napier) . En fait, on peut démontrer qu'il existe une infinité de nombres irrationnels. Les nombres rationnels, ensemble avec les nombres irrationnels forment l'ensemble de tous les nombres, appelés nombres réels. Retenons : R = ensemble de tous les nombres = ensemble des nombres réels = ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels = ensemble des nombres réels non nuls = ensemble des nombres réels positifs R− = ensemble des nombres réels négatifs I = ensemble des nombres irrationnels Comme R est l'ensemble de tous les nombres, il est évident que : Q ⊂ R et I ⊂ R (1.7) Q ∪ I = R et Q ∩ I = ∅ (1.8) Plus précisément : Résumons finalement les relations (1.4) à (1.7) : N ⊂ Z ⊂D ⊂ Q ⊂ R 1.4 (1.9) Voici un diagramme de Venn avec tous les ensembles de nombres : R Q D Z N 5. [...]

[...] Dans le développement décimal de tout nombre rationnel il y a une suite de chiffres qui se répète indéfiniment, appelée période de ce nombre rationnel. Démonstration. Admise Exemples. La période de de est celle de est celle de est 142857 etc. Quelle est la période ? Quelle est la période d'un nombre décimal ? Les nombres réels Il est facile d'inventer des nombres non rationnels, i.e. [...]

[...] • Le dernier exemple ci-dessus est important car il montre que tout entier est aussi un nombre décimal. En effet, si a ∈ Z alors : a a a = = 0 ∈D car le numérateur a ∈ Z et le dénominateur est 100 avec l'exposant 0 ∈ N . Donc : • Z⊂D (1.5) Un nombre décimal peut toujours s'écrire avec un nombre fini de chiffres non nuls derrière la virgule Les nombres rationnels On a vu que 1/3 n'est pas un nombre décimal puisque dans son développement décimal, il y a une infinité de chiffres 3 derrière la virgule. [...]