Comment Héron a-t-il réussi à déterminer rapidement une approximation de la racine carrée d'un nombre ?

Thèmes abordés

Approche géométrique, suite, préparations aux questions, racine carrée, méthode d'Héron, Héron d'Alexandrie, mathématicien grec, aire d'un triangle, tableau de variation, valeur approchée, fonction, dérivée, variation d'une suite, unicité de la limite, mathématiques,

Résumé du document

Héron d'Alexandrie est un mathématicien grec du Ier siècle connu pour la formule de Héron, qui permet de calculer l'aire d'un triangle sans utiliser la hauteur. Héron est également un ingénieur, c'est ce qui le démarque notamment de nombreux autres mathématiciens.
Comment et pourquoi la méthode de Héron permet-elle d'approcher rapidement la racine carrée de n'importe quel nombre ?
Nous étudierons d'abord une approche géométrique de cette méthode puis nous verrons la suite qui permet de déterminer approximativement la racine de n'importe quel nombre.

Extraits

[...] On peut alors essayer de déterminer une valeur approchée de racine carré de 2 : pour cela, on construit d'abord un rectangle avec une aire qui vaut dont la longueur vaut 2 et la largeur vaut 1 on fait ensuite la moyenne des deux longueurs, pour obtenir la longueur d'un deuxième rectangle qui vaut alors sachant que l'aire de ce rectangle doit toujours être de on déduit que la valeur de la largeur est 4/3 en répétant cette méthode, on obtient un 3ème rectangle dont l'aire vaut toujours deux mais dont la longueur vaut 17/12 et la largeur vaut 24/17 on se retrouve alors avec une suite de rectangle qui ont pour aire et la forme de ces rectangles va se rapprocher de la forme du carré qui a pour aire et les dimensions de ces rectangles vont se rapprocher de celle du carré on sait que la valeur approchée de racine carré de c'est environ 1,414 or, 17/12 vaut environ 1,416 et 24/17 vaut environ 1,412, on obtient donc un encadrement au centième près de la valeur exacte de racine carré de 2 voilà comment obtenir une approximation de la racine carrée de n'importe quel nombre grâce à cette méthode. La suite Cette approche géométrique permet de comprendre qu'on peut modéliser cette situation grâce à une suite qui va permettre de déterminer une valeur approchée de la racine carrée d'un nombre. [...]

[...] Par conséquent, lim un = √A (quand n tend vers +infinity) Ainsi, si l'on veut obtenir une approximation de racine carré de on remplace A par 2 dans l'expression de la suite et la suite va alors converger rapidement vers racine carré de 2 (≈ 1,414) La suite de Héron est certes une méthode ancienne pour déterminer la racine carrée d'un nombre, mais elle est toujours efficace notamment car elle converge très rapidement, c'est même ce qu'on appelle une convergence quadratique. Préparations aux questions Pour que la suite soit le plus efficace possible, c'est-à-dire pour trouver le plus "rapidement" la racine, on choisira pour le 1er terme de la suite u0, l'entier le plus proche possible de racine carré de A. Par exemple pour √2 on choisit u0 = 1. [...]

[...] On va voir que cette suite est convergente, c'est-à-dire qu'elle a une limite, et que cette limite est la raciné carré de A. Pour montrer qu'une suite est convergente on montre qu'elle est minorée, puis qu'elle est décroissante : en associant une fonction f à la suite de Héron et en calculant sa dérivée, on détermine, que la fonction f(un) admet pour minimum racine carrée de A quand x = √A. on considère que tous les termes de la suite un sont strictement positifs, donc pour tout entier naturel f(un) ≧ √A, d'après les variations de donc la suite de Héron est minorée par √A on calcul alors : un+1 - un , pour connaître les variations de la suite : un+1 - un = A/un) - un = - un²) / or, un ≧ √A, donc un² ≧ donc un+1 - un donc la suite un est décroissante. [...]

[...] Comment Héron a-t-il réussi à déterminer rapidement une approximation de la racine carrée d'un nombre ? Héron d'Alexandrie est un mathématicien grec du Ier siècle connu pour la formule de Héron, qui permet de calculer l'aire d'un triangle sans utiliser la hauteur. Héron est également un ingénieur, c'est ce qui le démarque notamment de nombreux autres mathématiciens. C'est pourquoi je me suis penché sur ce qu'on appelle la méthode de Héron . Comment et pourquoi la méthode de Héron permet d'approcher rapidement la racine carrée de n'importe quel nombre ? [...]

[...] On cherche le signe de (x² - qui s'annule pour x = -√A et x = √A On en déduit que sur l'intervalle ]0;+infinity[, admet pour minimum racine carrée de A quand x = √A, ce qu'on peut retranscrire sur ce tableau de variations (voir support et ci-dessus): Pour montrer que tous les termes de la suite sont positifs, on peut faire une démonstration par récurrence, avec comme propriété : Pn : " un > Pour déterminer les variations d'une suite on peut calculer un+1 - un, si un+1 - un > 0 alors la suite est croissante, si un+1 - un [...]