Les nombres complexes - publié le 05/06/2008

Résumé du document

Cours synthétique de Mathématiques sur les nombres complexes incluant un formulaire. Les propriétés et formules majeures sont encadrées. Des codes couleurs permettent une lecture facilitée du document, en allant à l'essentiel. Une fiche d'entraînement sous forme de questionnaire est jointe au fichier.

Extraits

[...] sin b + cos b. [...]

[...] Calculs avec les conjugués : z + z' = z + z z x z' = z x z' zn = z n z x z = + z + z = 2 Re(z) z z = 2i im(z) Si z est imaginaire pur : Re(z) = 0 donc z + z = 0 donc z = Si z est réel z z = 0 donc z = z Forme trigonométrique d'un complexe : x = r cos θ et y = r sin θ donc z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) r est appelé module de z : l z l = + et θ est appelé argument de z : arg(z) Propriétés : l z = z z l z z'l = l z l x l z' l l z / z' l = l z l / l z' l l zn l = l z ln arg( zz' ) = arg( z ) + arg (z' ) arg( z / z' ) arg (zn ) = n arg(z) si z = z' alors l z l = l z' l et arg( z ) = arg( z' ) Notation exponentielle : On pose e iθ = cos θ + i sin θ Propriétés : - e iθ x e iθ' = e i ( θ + θ') - e iθ / e iθ' = e i ( θ - ( e iθ = e inθ Remarques : - 1 / iθ) = e -iθ - e iθ = e -iθ - Tout complexe de module 1 peut s'écrire z = e iθ Formule de Moivre : (cos θ i sin θ)n = cos θ) + i sin θ) Formules Euler : - Cos x = e ix + e 2 - Sin x = e ix - e 2i D'où les formules de duplication : cos ( a + b ) = cos a. [...]

[...] cos b sina. [...]

[...] Les nombres complexes Calculs avec des nombres complexes : Somme : z + z' = + x') + i + y') Produit : = Quotient : il faut obtenir un réel au dénominateur en utilisant les conjugués. [...]

[...] Sin b sin ( a + b ) = cos a. [...]