Optimisation d’une fonction de production linéaire avec contraintes

Résumé du document

"Toute personne doit, dans les conditions définies par la loi, prévenir les atteintes qu'elle est susceptible de porter à l'environnement ou, à défaut, en limiter les conséquences". Cet extrait de la charte de l'environnement nous indique qu'il est désormais obligatoire de respecter le milieu
dans lequel on exerce une activité.
La protection de l'environnement est essentielle de nos jours ; elle fait office de règle de conduite et cette tendance s'accentue de plus en plus. Il devient donc nécessaire pour une entreprise de réduire ses déchets ou de ne plus en produire. Pour ce choix, on peut assimiler un individu à une entreprise. Le fait d'exister pour celui-ci, fait de lui un producteur de déchets même s'il n'a pas d'activité de production, on comprendra alors qu'il est plus envisageable pour les industries d'opter pour la première solution : elles chercheront donc à limiter leurs déchets.
Pour cela, on considère toujours que les entreprises correspondent à des agents rationnels, c'est-à-dire qu'ils cherchent toujours à maximiser leur profit en fonction de leurs contraintes. Ces contraintes sont multiples et émanent de différents organismes, on peut citer, par exemple, le CEN (Comité Européen de Normalisation), ou encore l'AFNOR (Association Française de NORmalisation). Les normes éditées par ces différents organismes sont applicables soit au niveau national pour les normes de l'AFNOR, soit au niveau européen pour le CEN; il existe au niveau international l'ISO (International Standards Organization). Ces contraintes sont sous la forme de normes qui indiquent les quantités de produits polluants tolérées, les industries ne devant pas se situer au dessus car les services de contrôle veillent au respect des règles et les entreprises s'exposent à de très fortes amendes. Le but pour chaque entreprise est donc d'adapter sa production en fonction des différentes contraintesfixées, par exemple pour une usine de pétrochimie, les services de protection de l'environnement ontfixé les quantités quotidiennes de polluants à ne pas dépasser.
Notre industrie de pétrochimie possède une fonction de production qu'elle cherchera à maximiser, nous chercherons donc à savoir s'il existe une ou plusieurs solutions permettant à celle-ci d'optimiser son profit tout en respectant les contraintes imposées. D'abord, nous nous intéresserons aux différents concepts mathématiques qui nous permettront de résoudre notre problème de manière algébrique, ensuite nous donnerons une interprétation économique des résultats trouvés.

Extraits

[...] Pour notre entreprise, le nombre trop important e e a de produits fait qu'il nous est plus utile d'appliquer la m´thode du simplexe, car toutes les entreprises e cherchent ` maximiser leur production en fonction des diff´rentes contraintes, mais en gardant toujours a e en m´moire qu'il faut que cela soit rapide et efficace. e Nous avons poursuivi la transformation du tableau avec les diff´rents pivots. Le tableau final nous e donne les quantit´s de produits qui maximisent le profit de l'entreprise en tenant compte de la fonction e de production. [...]

[...] e e 4.10 Interpr´tation ´conomique des r´sultats . e e e du . pivot trouv´ pr´c´demment e e e R´solution du probl`me deuxi`me partie e e e 5.1 Ajustement en fonction d'une hausse du prix des mati`res premi`res . e e 5.2 Interpr´tation ´conomique . e e 6 R´solution du probl`me troisi`me partie e e e 6.1 Ajustements suite ` la modernisation de la fabrication . a 6.2 Interpr´tation ´conomique . [...]

[...] Des mesures scientifiques ont montr´ que les proc´d´s de fabrication e e e conduisent au rejet dans l'atmosph`re des quantit´s suivantes (en milliers de m3 par centaine de tonnes e e de produits fabriqu´s) : e P1 P2 P3 P4 P5 S S S S Les b´n´fices nets, par centaines de tonnes de produit, sont de 2000 pour P e e pour P pour P4 et 6000 pour P5. L'usine d´sire maximiser son b´n´fice. e e e E E E E pour P2, 1000E 1. Formuler le probl`me que doit r´soudre l'usine p´trochimique. [...]

[...] On apposera un signe n´gatif ` la u e e e a variable λ. p p 5-λ Tableau initial avec λ p3 p4 p5 e 2-λ 6-λ 0 e e e e1 e2 e3 e4 z A l'aide de la formule on peut appliquer les modifications directement dans le tableau initial afin d'obtenir le tableau final en fonction de λ = cj cB , Aβ j j 10 p4 p2 e3 p1 z p p Tableau p3 p -1+λ 0 Final en fonction de p5 e 1/2 -2+3λ 1 λ 2 λ e 1/2 e e - 1 λ 2 b -27 Seuls les coˆts marginaux des produits p3 et p5 nous permettent d'analyser une ´volution du plan de u e production initial. [...]

[...] Le fait d'exister pour celui-ci, fait de lui un producteur de d´chets a e mˆme s'il n'a pas d'activit´ de production, on comprendra alors qu'il est plus envisageable pour e e les industries d'opter pour la premi`re solution : elles chercheront donc ` limiter leurs d´chets. e a e Pour cela, on consid`re toujours que les entreprises correspondent ` des agents rationnels, c'est e a a ` dire qu'ils cherchent toujours ` maximiser leur profit en fonction de leurs contraintes. [...]