Densité de probabilité

Résumé du document

Ce document est un corrigé de TD de Master, portant sur l'estimation mathématique de "Densité de probabilité".

Extraits

[...] Donc on aura : px (x)dx = py (y)dy Soit : py = px 2 dx dy y dy x dx F IGURE 1 – relation liant x à y pour x > Déterminer py dans le cas où y = x2 et lorsque px est une loi uniforme telle que : px = 1 si x ∈ 0 sinon On veut une fonction de et on note que x ne peut être négatif, on aura donc x = √ y et : √ 1 √ d y √ py = px ( = px ( √ dy 2 y √ y ∈ 1 pour 1 pour x ∈ √ On sait que px = et donc : px ( = 0 sinon 0 sinon Ainsi py sera nulle pour y 1. On aura l'allure donnée en figure 2. soit y ∈ F IGURE 2 – densité de probabilité py 4. [...]

[...] Déterminer la matrice de covariance CY de Y et retrouver la valeur de CX à partir de CY . Comme x et y sont indépendants, le vecteur Y = y)T étant composé de x et sa matrice de covariance CY sera diagonale et formée de covariances de x et y sur la diagonale : 2 σx σxy = CY = σxy σ2y On sait que l'on aura : CX = ACY AT Soit donc ici : CX = = Densité de probabilité Soit deux variables aléatoires : x de densité de probabilité px et y de densité de probabilité px Déterminer py dans le cas où y = a x + b et b sont des constantes) et où px est une loi gaussienne telle que : px = N (µx , σ2x ) On sait qu'une gaussienne reste une gaussienne par transformation linéaire ou affine. [...]

[...] — L'espérance E sera donnée par : E = E [ax + = aE + b = aµx + b — La variance sera : Var[y] = Var[ax + = Var[ax] = a2Var[x] = a2 σ2x Donc on pourra écrire : y ∼ N µy , σ2y = N aµx + a2 σ2x 2. On considère à présent que y = f avec f : fonction monotone croissante. Déterminer quelle sera, dans le cas général, la densité de probabilité py de y. Pour cela il faut noter que (voir figure la probabilité pour que y soit dans l'intervalle dy vaut la probabilité pour que x soit dans l'intervalle dx. [...]

[...] Calculer E E = E µ+x µ + E µ = = 2x + y 2E + E Déterminer la valeur de la matrice de covariance CX de X. On sait que : CX = E − E − E Soit : T µ+x−µ µ + x − µ 2x + y − 0 2x + y − 0 x x2 2x2 + xy x 2x + y = E 2x + y 2x2 + xy 4y2 + y2 + 4xy Comme les espérances de x et y sont nulles et de variance 1 on aura E x2 = E y2 = 1. [...]

[...] Retrouver à l'aide du résultat de la question 2 le résultat de la question 1 en supposant que a > Comme a > 0 on a affaire à une fonction monotone croissante. [...]