L’uniforme continuité

Thèmes abordés

Uniforme continuité, définition, compréhension, continuité simple, fonction

Résumé du document

« Soif f une fonction de R dans R. f est uniformément continue si et seulement si pour tout ε >0 il existe η>0 tel que pour tout (x,y), si /x-y/< η alors /f(x)-f(y)/< ε » (ici, // signifie valeur absolue).
C'est une notion délicate à appréhender, surtout au niveau de sa différence avec la continuité.
Mais il y a une différence !

Extraits

[...] En effet, dernière remarque : l'uniforme continuité, comme son nom l'indique entre autres, implique la continuité simple. Voici la démonstration au cas où vous ne l'auriez pas vue : Le but est de montrer que si x tend vers alors tend vers f(a). En d'autres termes, pour tout epsilon supérieur à lorsque x et a sont suffisamment proches, et sont au plus epsilon proches. Eh bien soit f uniformément continue. Si x tend vers au bout d'un moment x et a seront au plus distants de êta. Donc et seront au plus distants de epsilon. [...]

[...] Questions du 30/01/12 L'uniforme continuité. Repartons là encore de l'énoncé de la définition : « Soif f une fonction de R dans R. f est uniformément continue si et seulement si pour tout ε il existe η>0 tel que pour tout si η alors ε » (ici, signifie valeur absolue) Je suis tout à fait d'accord avec toi, c'est une notion délicate à appréhender, surtout au niveau de sa différence avec la continuité. Mais il y a une différence Mais revenons à la définition et essayons de comprendre. [...]

[...] Visuellement, cela peut se voir, je t'ai fait un dessin (tant bien que mal je te l'accorde mais je trouve qu'on le voit mieux ) : je prends x et a comme je veux tant qu'ils sont au plus η proches. Alors la courbe de f doit être comme la rouge, la verte est interdite. Alors que si la fonction n'était que continue, peut être que η ne serait pas suffisante pour ces x et a particulier pour rapprocher et de ε. Voilà en substance ce que dit l'uniforme continuité. [...]