Les trois problèmes grecs : la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l'angle

Résumé du document

TPE sur les trois problèmes soulevés par les grecs : la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l'angle. Qui sont les principaux acteurs ayant mis en oeuvre des démonstrations ? Quels théorèmes interviennent dans ces problèmes ? Y a-t-il finalement une réponse à ces trois problèmes ?

Extraits

[...] 4.Réponse négatives aux trois problèmes A.La quadrature du cercle F.Lindemann a montré en 1882 que pi est irrationnel. Il en vient par contre apposée que le nombre est irrationnel et donc non constructible, d'où l'impossibilité de la quadrature du cercle ! B.La duplication du cube Ici, on a algébrique puisqu'il est racine du polynôme 2 qui est d'ailleurs son polynôme minimal. Mais remarquons que qui n'est pas une puissance de deux. D'où la non constructibilité de ! Donc la duplication du cube est impossible C.La trisection de l'angle En réalité, la trisection de l'angle est possible dans certains cas : en effet, on sait construire l'angle pi mais aussi l'angle pi/3. [...]

[...] Les Trois Problèmes Grecs Introduction Les trois problèmes de la quadrature du cercle, la duplication du cube et de la trisection de l'angle sont longtemps restés une énigme. On retrouve le problème de la quadrature consigné dans des manuscrits égyptiens datant de 1650 av J.C. et il faudra attendre le XIXe siècle pour avoir une démonstration complète de son impossibilité Rappelons en quoi consiste ces problèmes (dans tous les cas, le but étant de parvenir au résultat uniquement à l'aide de la règle et du compas) : *La quadrature du cercle : il s'agit de construire un carré de même aire qu'un disque donné. [...]

[...] Nous retiendrons enfin que l'ensemble des nombres constructibles est un corps. B.Les nombres constructibles à la règle et au compas Nous appellerons donc nombre constructible à règle et au compas tout nombre que l'on peut obtenir à partir d'une construction d'une suite finie de points dont le dernier point a pour abscisse ou ordonnée le nombre recherché. 2.Traduction des problèmes. A.La quadrature du cercle L'aire d'un cercle donné étant il s'agit de construire un carré de côté r*(pi)^1/2. Ce qui revient à savoir construire (pi)^1/2. [...]

[...] B.La duplication du cube De même, le volume d'un cube de côté a est a^3. Pour construire un cube de volume il faut donc construire un cube de côté Ce qui revient à savoir construire C.La trisection de l'angle Ici, pour un angle il s'agit de savoir construire cos(w/3). En effet en se plaçant dans le cercle trigonométrique, on obtient ainsi la projection de l'angle souhaité, il suffirait alors de tracer la perpendiculaire à l'axe des cosinus passant par cette projection et coupant le cercle trigonométrique au point K voulu. [...]

[...] Une démonstration assez complexe montre que dans le cas général, cos(w/3) admet un polynôme minimal de degré trois donc cos(w/3) n'est pas constructible dans le cas général. Conclusion Dans cet exposé, nous avons donc vu de manière simple, les principaux éléments qui nous certifiaient l'impossibilité des trois problèmes grecs. Mais en réalité, les démonstrations complètes qui interviennent dans ces problèmes font intervenir des théorèmes d'algèbre linéaire dans lesquels on s'intéresse aux dimensions des extensions de corps que l'on fait lorsque l'on construit un nouveau point à partir d'anciens L'objectif de ce TIPE était simplement donc de voir pour quelles raisons les trois problèmes grecs sont impossibles en admettant tous les résultats et en ne faisant intervenir aucune démonstration complète. [...]