La transformée en ondelettes : une méthode de localisation temps-fréquence

Résumé du document

L'objectif de ce document est l'étude des différents résultats sur les ondelettes et la mise en parallèle de la transformée de Fourier à fenêtre glissante et de la transformée en ondelettes, qui sont deux méthodes d'analyse temps-fréquence.
Ces méthodes comblent les limites de l'analyse de Fourier standard. En effet, la transformée de Fourier permet une analyse de l'ensemble des fréquences d'un signal f, on parle alors d'analyse spectrale. Mais, elle n'est pas localisée en temps. Ainsi, elle est très adapté pour des signaux stationnaires, étant donné leur décomposition en combinaison linéaire d'ondes. Cependant, dès que l'on veut aller un peu plus loin, comme l'étude de signaux transitoires ou d'évènements imprévisibles, nous entrons, là dans les limites de cette analyse. Prenons à présent, un exemple concret comme l'étude d'un morceau de musique qui est une séquence de notes dans l'espace temps et qui ont toutes une fréquence précise. Dans ce cas, la transformée de Fourier va seulement nous préciser les différentes notes présentes dans ce morceau et en quelle quantité. Aucune information sur le moment où telle note est joué plutôt qu'une autre n'est donné. Par contre si la transformée en ondelettes est utilisée, on saura quelle note aura été joué à quel moment et sa nature (croche, noire, blanche).
Les ondelettes sont une famille de fonctions déduites d'une fonction (ondelette-mère) par opérations de translations, dilatations et de rotations en dimension supérieure à un. Son immense champ d'application en a fait son succès actuel. On retrouve l'utilisation d'ondelettes dans des domaines de divers horizons comme les mathématiques (analyse, probabilité, fractales), le traitement du signal (compression, astronomie, sismique), la physique (mécanique quantique, turbulence), dû à sa bonne localisation à la fois en temps et en fréquence.
Nous présenterons ici ces deux méthodes. Après une première approche entre les deux transformées, nous différencierons leurs transformées continues d'une part, puis leurs transformées discrètes, d'autre part. Nous finirons par l'étude des bases orthonormées.

Extraits

[...] Il faut cependant qu'ils vérifient les 3 propriétés suivantes : et condition de régularité : les fonctions constantes par morceaux représentées par (où et ) converge vers une gentil fonction quand . Les filtres H et G sont des cas spéciaux de filtres miroirs de quadrature. Ils permettent une reconstruction exacte. Remarque = les filtres de quadrature général ne vérifient pas la condition de régularité. Cependant cette condition est nécessaire ici, afin d'éviter des itérations difficiles. Remarque = l'équivalence entre les filtres H,G et l'analyse multi- résolution peut être utilisé pour construire des bases orthonormées d'ondelettes à support compact si les 3 propriétés ci-dessus sont vérifiées. [...]

[...] BIBLIOGRAPHIE Références littéraires S. Mallat, A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation IEEE PAMI, vol.2, n.7,1989. A. Cohen, Ondelettes et traitement numérique du signal Masson Y. Meyer, Ondelettes et opérateurs tome Hermann, Paris Y. Meyer, Ondelettes et algorithmes concurrents Hermann Y. Meyer, Wavelet and applications Masson, SpringerVerlag Y. Meyer, Les ondelettes: algorithmes et applications Armand Colin, Paris J.P. Kahane & Pierre Gilles LemariéRieusset, Séries de Fourier et ondelettes Cassini, Paris I. [...]

[...] Si et alors le frame est une base orthonormée de . On définit l'opérateur linéaire de frame de dans par : et son adjoint de dans par : , comme par définition. On montre alors que est inversible. Remarque = permet de dire que est continu, one-to-one et d'inverse continue. Ces 3 propriétés entraînent Notons que la dernière propriété est nécessaire pour montrer l'existence d'un algorithme de reconstruction (numériquement stable) de à partir de . Déf : Soit . Les constituent un frame avec pour bornes du frame . [...]

[...] Nous donnerons après un aperçu de la construction de ces filtres à quadrature. Nous finirons par le cas des bases orthonormées d'ondelettes à support compact L'analyse multi-résolution Déf : Une analyse multi-résolution est une famille de sous-espaces vectoriels fermés emboîtés de vérifiant les propriétés suivantes : c'est-à-dire et de plus, tel que , les sont une base de Riesz pour . On appelle aussi approximation multi-résolution de . De la propriété on en déduit que est invariant par les translations entières : . [...]

[...] Etant donné que , on a D'où Une application intéressante de la formule d'inversion est la construction de filtres localisés en temps et en fréquence. Ils sont analogues aux opérateurs limités en temps et en fréquence : Ils projettent sur l'intervalle de temps et sa transformée de Fourier sur celui des fréquences . Ainsi la fonction correspond au contenu de dans la fenêtre définie par . remarque = Pour reconstruire le signal , on va construire les opérateurs de localisation en temps et en fréquence, d'après qui vont être analogue mais différent des . [...]