La transformée de Fourier

Résumé du document

Dans ses travaux sur la propagation de la chaleur, Fourier devait trouver une solution à une équation aux dérivées partielles dite « équation de la chaleur ». Pour cela, Fourier a eu l'idée de décomposer une fonction périodique et continue au sens fort (c'est à dire non discrète) en une somme de sinusoïdes, en exploitant l'orthogonalité entre les fonctions sinusoïdales. Cette méthode sera appelée décomposition en série de Fourier. La transformée de Fourier vient pour généraliser la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions sinusoïdales de toutes les fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'une intégrale et s'appellera transformée de Fourier inverse.

Extraits

[...] C'est ce qui montre la figure suivante : Dans cet exemple on remarque que même si le bruit a été atténué les contours sont moins bien définis : Image de départ Image bruitée Image filtrée par un filtre passe bas Image filtrée par un filtre passe bas (plus sélectif) Dans ce cas, le bruit "pollue" toutes les fréquences donc son spectre et celui de l'image se superposent et le filtrage linéaire, même si il enlève du bruit, dégrade fortement l'image. Les filtres linéaires ne constituent donc pas toujours la meilleure solution, on utilise alors des filtres non linéaires tel le filtre médian qui est un filtre statistique ou encor le filtre de Wiener . 2-Diffraction On passe maintenant à un autre champs d'application de la transformée de Fourier qui est l'étude de la diffraction. Ce genre d'études se base sur le principe d'Huygens-Fresnel qui est un postulat intuitif qui permet un traitement approché et simple du phénomène de diffraction. [...]

[...] En effet, l'information contenue dans la phase d'une transformée de Fourier est prépondérante par rapport au module. Dans cette figure, et sont deux images différentes, est l'image obtenue à partir de la figure en affectant à sa transformée de Fourier la phase de la transformée de l'image alors que est l'image obtenue en affectant à la transformée de Fourier de la figure la phase de la transformée de la figure (b).On voit que l'image finale " suit " essentiellement l'information de phase. [...]

[...] Cette méthode sera appelée décomposition en série de Fourier. La transformée de Fourier vient pour généraliser la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme somme infinie des fonctions sinusoïdales de toutes les fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'une intégrale et s'appellera transformée de Fourier inverse. Transformation Transformation de de Fourier Fourier inverse II-La dualité dans la transformée de Fourier Le tableau suivant représente 4 types de signaux, évoluant par exemple dans l'espace temporel, et leurs transformées de Fourier : On remarque qu'un signal non périodique est la superposition de signaux sinusoïdaux dont les pulsations prennent toutes les valeurs de zéro à l'infini, son spectre est donc continu. [...]

[...] Il exprime l'idée très générale qu'une onde qui arrive sur un objet formera la transformée de Fourier du facteur de transmission de l'objet. L'étude des figures de diffractions ainsi obtenues permet alors de retrouver des informations sur l'objet diffractant grâce à la transformée de Fourier inverse. En étudiant les phénomènes de diffraction, on s'aperçoit que chaque point soumis à une vibration devient à son tour un centre réémetteur de cette même vibration. C'est le principe d'Huygens-Fresnel ! Les figures suivantes représentent dans un premier temps le module de la transformée de Fourier de la fonction Rectangle et une simulation sur ordinateur de la figure de diffraction observée en éclairant le Rectangle avec de la lumière blanche. [...]

[...] Cette propriété fondamentale constitue l'intérêt de la transformée de Fourier dans l'analyse linéaire des signaux. Le filtrage linéaire du bruit d'un signal se fait en trois étapes : d'abord la transformation de Fourier du signal bruité afin d'obtenir une information spectrale, en suite le filtrage dans l'espace de Fourier en multipliant le spectre par un filtre et enfin la transformée de Fourier inverse permet de retrouver le signal utile qui peut être considéré comme la convolution du signal bruité et le filtre linéaire dans l'espace où le signal bruité évolue. [...]