La théorie de renouvellement et les marches aléatoires sur R

Résumé du document

Par la lecture des chapitres XI et XII du second volume du livre « An introduction to
probability theory and its applications » de W. Feller, on étudie la théorie de renouvellement et les marches aléatoires sur R. Cela constitue nos deux premiers chapitres, où la première notion sera développée dans le premier chapitre et la seconde dans le second chapitre. On s'intéressera ensuite à quelques articles récents sur ces sujets afin de voir l'état actuel de la recherche.
L'origine de la théorie du renouvellement se trouve dans l ‘analyse des problèmes de remplacements de pièces ou encore, dans l'arrivée successive de personnes dans une file d'attente. Actuellement, elle est présente dans de nombreux domaines, que ce soit dans la fiabilité des systèmes, les files d'attente (théorie des queues) ou encore dans la théorie des stocks en économie.
Une marche aléatoire sur R décrit les positions successives d'un promeneur qui se déplace à chaque moment dans une direction (soit vers la gauche, soit vers la droite) et d'une distance aléatoire. On suppose que chacun de ces pas aléatoires est indépendant des déplacements précédents et suit une même loi de probabilité. On est alors amené à se demander si notre promeneur est certain de revenir à son point de départ, de visiter tous les points de l'espace, de revenir infiniment souvent à son point de départ, etc. Cela va surtout dépendre du déplacement moyen du promeneur au cours d'un pas et de la dimension de l'espace. Notons qu'ici nous nous focaliserons seulement sur les marches aléatoires de dimension 1.
On s'intéressera ici aux variables d'échelle et aux méthodes combinatoires pour étudier ces marches aléatoires.

Extraits

[...] On appelle ce processus la marche du propriétaire d'un ranch. Ce nom vient du cas planaire : à la limite de son ranch, un propriétaire se promène et à chaque pas, il augmente la superficie de sa propriété, en traînant avec lui sa clôture. Et cela afin que son ranch soit toujours à un instant une coque convexe dont le chemin est tracé jusqu'à l'instant t. On montre que à quelle distance notre propriétaire sera après n pas, sur un segment de ligne droite. [...]

[...] On écrit alors l'équation de renouvellement de la manière suivante : . ( 1.1 ) [On peut l'écrire comme une convolée car on peut remplacer les bornes de l'intégrale par et , en utilisant la convention que si Rappelons que la fonction de renouvellement associée à F est : . On peut ainsi établir un lien entre cette fonction et la solution Z de l'équation ( 1.1 ) avec le lemme suivant : Lemme De plus, si z est bornée, alors la fonction Z définie par , est l'unique solution de l'équation de renouvellement ( 1.1 ) qui est bornée sur les intervalles finis. [...]

[...] On veut montrer que : En restreignant sur l'instant du 1er renouvellement, on en déduit une équation de renouvellement pour Z(t). Comme après chaque renouvellement, le processus de renouvellement recommence, on obtient : si D'où par la loi des probabilités totales, On peut voir que la fonction ( ) est monotone, positive et intégrable : . Ainsi, la fonction est directement Riemann intégrable. Comme les hypothèses du théorème de renouvellement sont vérifiées, cela nous donne le résultat suivant : . Or et par définition. D'où : . [...]

[...] La théorie est la même qu'avant sauf qu'on note ces variables avec des barres : est le plus petit n tel que et . Remarque. Le 1er point d'échelle non strict est le même que le 1er point d'échelle strict sauf si la marche aléatoire retourne à l'origine en ne passant que par les valeurs négatives. D'où et si on pose , alors . Donc et Les variables d'échelle descendantes. Les variables strictes et non strictes sont définies par symétrie (changer > par 0 est le même que le nombre de permutations dans lesquelles le 1er maximum de ces sommes partielles a lieu à la place r. [...]

[...] Cheliotis 2005) Cet article montre l'existence d'une suite croissante qui converge vers l'infini et pour laquelle a au moins un point d'accumulation, et ceci pour toute marche aléatoire récurrente sur R définie précédemment. On dit que cette marche est récurrente si , c'est-à-dire que la marche aléatoire revient une infinité de fois à son origine. Il établit un résultat pour trouver, pour la marche aléatoire , une suite de nombres positifs qui converge vers 0 tel que . On peut aussi en trouver une tel que . [...]