La théorie des jeux - publié le 30/11/2006

Résumé du document

Le sujet que nous allons présenter porte sur l'introduction à la théorie des jeux.
Suite à une étude approfondie du sujet et à l'analyse de plusieurs documents, nous avons pu répondre aux interrogations portées sur cette question.
Nous pouvons donc nous demander en quoi consiste réellement l'analyse de la théorie des jeux, à la fois d'un point de vue graphique et analytique ?
Notre rapport sera donc composé de trois parties. Nous débuterons ce dernier par l'esquisse de la théorie des jeux où nous parlerons de l'historique, nous énoncerons plusieurs définitions utiles pour la suite du projet et nous éclaircirons tout cela par plusieurs exemples. Ensuite nous en verrons une représentation graphique où nous présenterons deux cas de représentations avec des exemples pour nous permettre de mieux assimiler. Enfin nous terminerons par l'algèbre de la théorie des jeux où nous énoncerons et démontrerons le théorème fondamental.

Extraits

[...] Considérons un jeu, moins simple que celui du Pile ou Face, défini par la règle suivante : Les joueurs A et B choisissent, indépendamment l'un de l'autre, l'un des nombres ou +1. Soit s le choix de A et t celui de B. Le règlement est de ( ( t payé par B à A (si ce règlement est négatif, il correspond au paiement d'un montant positif par A à B). Il est clair que quel que soit son choix, ne peut être assuré du résultat, qui dépend aussi du choix de B. [...]

[...] Ce règlement unique, attaché à toute solution d'un jeu déterminé, est appelé la valeur du jeu. Nous avons vu qu'il existe des jeux sans point d'équilibre. Mais, d'après un problème fondamental de la théorie des jeux, tout duel comprenant un nombre infini de tactiques admet au moins une solution, dans laquelle les stratégies optimales des deux joueurs peuvent être, soit toutes les deux mixtes, soit l'une mixte et l'autre pure, soit toutes les deux pures (auquel cas il existe un point d'équilibre). [...]

[...] Un coup d'œil sur la matrice des règlements nous montre comment le règlement de A dépend du choix de B autant que son propre choix. Bien entendu, aucun joueur ne peut savoir ce que fera l‘autre (sans tricher). La théorie des jeux propose que chacun des deux joueurs raisonne de la façon suivante : Pour chacun des choix que je peux faire, je dois craindre que mon adversaire fasse précisément le choix qui rendra mon gain (ou mon gain moyen s'il y a un coup aléatoire) minimum compte tenu des circonstances. [...]

[...] Stratégie optimale de B : employer la tactique B1 deux fois plus souvent que la tactique B2. Nous représenterons cette solution en indiquant seulement les fréquences relatives pour A comme pour B. Ces stratégies constituent bien une solution du jeu, car aucun joueur ne peut obtenir un règlement plus favorable que 1/3 (gain actuel de si l'autre s'en tient à sa stratégie ; mais il pourrait gagner moins ou perdre plus que 1/3 (en moyenne) s'il s'écartait de sa stratégie optimale et que son adversaire en tirât parti. [...]

[...] L'égalité de ces rapports résulte des propriétés élémentaires des triangles semblables. Leur valeur commune donne le rapport des fréquences avec lesquelles B doit utiliser respectivement sa seconde et sa première tactique dans sa stratégie optimale. Afin de mieux comprendre ce premier mode de représentation nous allons expliquer en détails les étapes pour trouver les meilleures stratégies. Pour les deux stratégies, A et tout se base sur le contour inférieur (en gras sur le graphique). On suppose que ce contour inférieur est une courbe concave. [...]