Les théorèmes des nombres premiers et de la progression arithmétique

Résumé du document

La définition des nombres premiers ne présente aucun mystère et pourtant leur répartition ne semble suivre aucune règle. Celle-ci a intrigué les hommes dès l'Antiquité, Euclide montre déjà au IIIème av. JC qu'il existe une infinité de nombres premiers. Mais il faut attendre 1737 avec Euler pour obtenir un nouveau résultat significatif à ce sujet. Il montre que la série SIGMA(1/p) diverge. Peu de progrès ont été faits entre ces deux évènements car il a fallu introduire des notions analytiques en arithmétique, deux domaines a priori très éloignés.
Puis les résultats se précisent. Gauss indique notamment en 1792 que Pi(x) (le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x) est équivalent à x/ln(x). Dirichlet montre en 1737 qu'il existe une infinité de nombres premiers dans les progressions arithmétiques, c'est alors que naît véritablement la théorie analytique des nombres. L'utilisation de fonctions à variable complexe sera le cap décisif pour résoudre la question de la répartition des nombres premiers. Ceci laisse apparaitre clairement la dualité discret/continu puisqu'il faut introduire des notions analytiques dans un phénomène discret. Hadamard et de La Vallée Poussin montrent finalement indépendamment le théorème des nombres premiers en 1896.
Dans ce document, nous verrons dans un premier temps quelques résultats élémentaires comme notamment les inégalités de Tchebychef. Ensuite nous introduirons les séries de Dirichlet et les caractères d'un groupe pour esquisser une preuve des théorèmes des nombres premiers et de la progression arithmétique. Pour cela nous nous appuierons sur quelques résultats dont nous ferons une preuve succincte dans la dernière partie.

Extraits

[...] Les théorèmes des nombres premiers et de la progression arithmétique Ä Ø ÓÖ Ñ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ø ÔÖÓ Ö ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ È ÐÀ ÒÑÙÐÐ Ö ÂÙ Ò Ð ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ä Ò Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ò ÔÖ ÒØ Ù ÙÒ ÑÝ×Ø Ö Ø ÔÓÙÖØ ÒØ Ð ÙÖ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Ñ Ð ÚÖ Ù ÙÒ Ö Ð º ÐÐ ÒØÖ Ù Ð ÓÑÑ ÒØ ÕÙ Ø Ù Ð ÑÓÒØÖ Ù ÁÁÁ Ñ Ú Âº º ÕÙ³ Ð Ü ÙÒ Ò Ò Ø ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö׺ Å Ð ÙØ ØØ Ò Ö Ú ÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ 1 Ú Ö ºÈ Ù ÒÓÙÚ Ù Ö ×ÙÐØ Ø Ò Ø Øº ÁÐ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð Ö p ÔÖÓ Ö ÓÒØ Ø ÒØÖ ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ× Ö Ð ÐÐÙ ÒØÖÓ Ù Ö ÒÓØ ÓÒ× Ò ÐÝØ ÕÙ Ò Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÙÜ ÓÑ Ò ÔÖ ÓÖ ØÖ ÐÓ Ò ÈÙ Ð Ö ×ÙÐØ ÔÖ Òغ ÒØÙ Ø ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ò ÕÙ π(x) x ÒÓÑ Ö ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ò Ö ÙÖ× ÓÙ ÙÜ xµ ÕÙ Ú Ð ÒØ ln x º Ö Ð Ø ÑÓÒØÖ Ò ÕÙ³ Ð Ü ÙÒ Ò Ò Ø ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ð ÔÖÓ Ö ÓÒ× Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÐÓÖ× ÕÙ Ò Ø Ú Ö Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ò Ðݹ Ø ÕÙ ÒÓÑ Ö Ä³ÙØ Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ× Ú Ö Ð ÓÑÔÐ Ü ÒØÖÓ¹ Ù Ø Ô Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ö Ð Ô ÔÓÙÖ Ö ×ÓÙ Ö Ð ÕÙ ÓÒ Ð Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö׺ Ð ÔÔ Ö ØÖ Ð Ö Ñ ÒØ Ð Ù Ð Ø Ö ÓÒØ ÒÙ ÔÙ Ð ÙØ ÒØÖÓ Ù Ö ÒÓØ ÓÒ× Ò ÐÝØ ÕÙ ÙÒ Ô ÒÓ¹ Ñ Ò ØÓÙØ Ø Ö Øº À Ñ Ö Ø Ä Î ÐÐ ÈÓÙ×× Ò ÑÓÒØÖ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ò º ÌÁÈ ÒÓÙ× Ú ÖÖÓÒ× ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ× ÕÙ ÐÕÙ Ö ×ÙÐØ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÑÑ ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ð Ò Ð Ø Ì Ý º Ò×Ù Ø ÒÓÙ× ÒØÖÓ¹ Ù ÖÓÒ× Ð Ö Ö Ð Ø Ø Ð Ö Ø Ö ³ÙÒ ÖÓÙÔ ÔÓÙÖ ×ÕÙ Ö ÙÒ ÔÖ ÙÚ Ø ÓÖ Ñ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ø Ð ÔÖÓ Ö ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º ÈÓÙÖ Ð ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÔÔÙ ÖÓÒ× ×ÙÖ ÕÙ ÐÕÙ Ö ×ÙÐØ ÓÒØ ÒÓÙ× ÖÓÒ× ÙÒ ÔÖ ÙÚ ÒØ Ð ÖÒ Ö Ô ÖØ º ÆÓØ Ø ÓÒ× Ô Ò Ö ØÓÙ ÓÙÖ× ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÇÒ ÒÓØ πa,m Ð ÒÓÑ Ö ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ ÓÒ ÖÙ× Ø Pa,m Ð ÙÖ Ñ Ð º Pa = > Ø Pa = 1 ζ : s P1 ns a ÑÓ ÙÐÓ m ˆ ˇ f Ø Lf Ä ÔÐ ÆÓÙ× ÓÒ× ÐÓÒ ÖÓÒ× ×ÓÒØ Ö Ø Ú Ñ ÒØ Ð ØÖ ÓÖÑ Ö Ø ÒÚ ÓÙÖ ˇ ˆ = 2πf µ Ö ÖÓÒ× Ð Ö Ø Ö g ×ÙÖ Gm = U ÕÙ ÒÓÙ× ÔÖÓ¹ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ χ Z ×ÙÖ C Ô Ö χ(x) = g(xm ) x m = 1 Ø 0 ÒÓÒ ÇÒ ÓÒ ÓÒ Ö ˆ ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ× Ø ÓÒ ÒÓØ Ö Gm Ð ÙÖ Ñ Ð º Ê ×ÙÐØ Ð Ñ ÒØ Ö Ä Ú Ö Ò 1 p ÙÐ Ö µ Ð ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ ÓÖÑ ÒØ ÙÒ ÖÓ× Ò Ò ÓÑÔ Ö Ö 1 Ú n2 Ô Ö Ü ÑÔÐ µº Ä ÔÖ ÙÚ Ô ÙØ Ö Ò Ö Ú ÒØ ζ ÓÖÑ ÔÖÓ Ù Ø ÙÐ Ö Ö > = ns p 1/ps ÈÙ Ò ÔÖ Ò ÒØ Ð ÐÓ Ö Ø Ñ Ø Ò ÒØ Ø Ò Ö s Ú ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð Ö ×ÙÐØ Øº Ì ÁÒ Ý ÐØ Ú Ì Ý x ) ln x Ú ÑÓÒØÖ ÕÙ π(x) = Ø x = ln x 1 ÈÓÙÖ χ = χ0 ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ô k=p χ(k) = 0 Ø ÙÒ ØÖ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð ÓÒÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒÚ Ö Ò ×ÓÐÙ ÔÓÙÖ > 0º ÔÖ ÒØ Ø ÙÐ ÓÒ ÔÓÙÖ > χ(p)/ps Lχ = µ Ò Ö Ú ÒØ ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Ñ ÒØ Lχ Lχ ks Ó Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÎÓÒ Å Ò ÓÐ Ø ´ÕÙ Ú ÙØ ln p ×ÙÖ Ð ÒØ pm Ø ÒÓÒµº ÇÒ Ò Ù Ø Ú Ð ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð Ð ÓÖÑ ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ÓÒ ËÓ ÒØ a Ø m ÙÜ ÒØ ÔÖ Ñ ÒØÖ Ùܺ ÈÓÙÖ > 1 ks φ(m) Lχ Lχ Ò Ð ÑÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ Ö Ò Ú ÒØ Ö ÔÓ× Ø ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ ÓÒØ ÒÙÑ ÒØ P1 º ÇÒ Ú ÙØ Ð Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ø Ù Ì ÓÖ Ñ ËÓ Ø (an ÙÒ Ø µ an = 1 µs P1 an ÔÖÓÐÓÒ ns ÐÓÖ× an x ÇÒ Ú ÔÔÐ ÕÙ Ö Ø ÓÖ Ñ an = (n)º Î Ö ÓÒ× Ð ÝÔÓØ µ ÓÒÒ Ô Ö Ð Ò Ð Ø Ì Ý µ ÔÐÙ× Ð Ø º ÈÓÙÖ χ = χ0 ÓÒ ÚÙ ÕÙ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Lχ Ø Ø ÓÐÓÑÓÖÔ ×ÙÖ P0 º ÈÓÙÖ χ0 Ð ÙØ ØÙ Ö ÔÐÙ× ÔÖ Ñ ÒØ ζ º ÍÒ ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ×ÓÑÑ ÒØ Ö Ð Ô ÖÑ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ s P0 Lχ0 1 ÔÖÓÐÓÒ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐÓÑÓÖÔ . [...]