Cours sur les suites et la récurrence en mathématiques

Résumé du document

Cours de mathématiques sur les suites et récurrences, premier chapitre lors de la Terminale S. La récurrence est quelque chose d'obligatoire et souvent demandé en démonstration.

Extraits

[...] Principe du raisonnement par récurrence Axiome de récurrence désigne une proposition qui dépend d'un entier naturel n. n0 V. Pour démontrer par récurrence que la proposition est vraie pour tout entier naturel n on procède en deux étapes puis on conclut : Etape 1 : On vérifie que P(n0) est vraie (initialisation) Etape 2 : On suppose que pour un entier naturel quelconque n la proposition est vraie (hypothèse de récurrence) On démontre alors que est vraie (on démontre le caractère héréditaire de la propriété, à partir du rang n0) Conclusion : On peut alors affirmer que la proposition est vraie pour tout entier naturel n > n Comportement global d'une suite Sens de variation La suite est croissante si, pour tout entier Un La suite est décroissante si, pour tout entier Un > Un+1 La suite est monotone si elle est croissante ou décroissante à partir de son premier terme. [...]

[...] Trois techniques pour étudier la monotonie d'une suite : La technique fonctionnelle : pour les suites de la forme Un = Les techniques algébriques Le raisonnement par récurrence 2. Comportement global d'une suite Suite majorée, minorée, bornée La suite est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout entier Un La suite est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout entier Un > m La suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. [...]

[...] Si une suite est convergente, sa limite est unique admettre pour limite + : Tout intervalle du type ; [ lim Un = a n La suite est convergente. lim Un = n contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. admettre pour limite - : Tout intervalle du type ] ; contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. ne pas avoir de limite, comme par exemple. [...]

[...] lim Un = n Dans ces 3 cas La suite est divergente Opérations sur les limites Si lim Un = a et lim Vn = alors . a a+b Sommes : a = Quotients : et 0 0 Produits : 0 U V n Quotient : lim b b Y b = b = - a b a = 0 Produit : lim UnVn = ? b = ab a = n a b Y b = b = - = Formes indéterminées b Somme : lim(Un + Vn) = ? [...]

[...] Hypothèse 1 : Inégalité (à partir d'un certain rang) Hypothèse 2 : Comportement à l'infini lim Un = Un alors n lim+ qn = + Si q = alors la suite est constante (et a pour limite Si Toute suite croissante non majorée a pour limite Toute suite décroissante non minorée a pour limite Suites monotones majorées ou minorées Théorème de la convergence monotone : Toute suite croissante majorée est convergente Toute suite décroissante minorée est convergente 5. [...]