Suite de Fibonacci

Résumé du document

Fibonacci est la contraction de « Filius Bonacci », Son vrai nom est Léonard de Pise, né à Pise en 1175 d'un père marchand, il part ensuite en Afrique du Nord où il apprendra les mathématiques arabes. Quand il reviendra à Pise, il publiera en 1202 « Liber abbaci » grâce auquel il entreprend de diffuser la science des mathématiques arabes, il y introduira également la suite de Fibonacci dans laquelle chaque terme est la somme des deux précédents et F1=1, F2=1 (Fn+2=Fn+1+Fn). Il publiera enfin également « Practica geometriae » en 1220 et « Liber quadratorum » en 1225. Fibonacci décèdera en 1240. Cette suite permet entre autre de calculer le nombre de couple de lapin que vous aurez au bout de n mois si vous commencez avec un couple de lapin, que chaque couple engendre un autre couple au bout de deux mois d'existence et qu'il en fasse un tous les mois.

Extraits

[...] Quand il reviendra à Pise, il publiera en 1202 Liber abbaci grâce auquel il entreprend de diffuser la science des mathématiques arabes, il y introduira également la suite de Fibonacci dans laquelle chaque terme est la somme des deux précédents et F1=1, F2=1 (Fn+2=Fn+1+Fn). Il publiera enfin également Practica geometriae en 1220 et Liber quadratorum en 1225. Fibonacci décèdera en 1240. Cette suite, permet entre autre de calculer le nombre de couple de lapin que vous aurez au bout de n mois si vous commencez avec un couple de lapin, que chaque couple engendre un autre couple au bout de deux mois d'existence et qu'il en fasse 1 tous les mois. [...]

[...] I Généralité Formule de Binet En 1843, Binet découvre une formule qui donne le nième terme de Fibonacci sans avoir besoin des précédents termes. En voici la démonstration Soit la suite : an+2=an+1+an On cherche q tel que : an=a0qn On a alors : an+2=an+1+an (a0qn+2=a0qn+1+a0qn (a0qn+2-a0qn+1-a0qn=0 (a0qn(q2-q-1)=0 Si a0=0 ou q=0 est une suite nulle, ce qui n'a pas grand intérêt On cherche donc q tel que : q2-q-1=0 Δ=1+4 On a donc : Soit alors Fn+2=Fn+1+Fn On cherche λ et μ tels que : Fn= λq1n+μq2n Pour n=0 on a 0=λ+μ λ Pour n=1 on a λ q1+ μ q2 μ q1+ μ q2 μ q1) μ q2- q1) μ On a donc Fn= λ q1 n + μ q2 n n n n –Φ' Φ étant le nombre d'or (Formule de Binet) Malgré la présence de Fn est un nombre entier. [...]