Réflexions sur le Théorème de Ménélaüs

Résumé du document

Voici plusieurs démonstrations du célèbre théorème de Ménélaüs, ainsi qu'une généralisation et quelques liens avec les théorèmes de Thalès, Ceva et Gergonne.
Ce travail permet de réviser le Théorème, en particulier dans le cadre de la préparation au CAPES, en détaillant l'emploi d'outils différents pour arriver au même but. On notera, par exemple, l'emploi des propriétés des homothéties dans la preuve de Ménélaüs et de sa généralisation en dimension n, emploi qui pourra être mis en évidence - ou seulement cité - dans une leçon d'oral de CAPES portant sur les homothéties.

Extraits

[...] . 1 Cette dernière rmation s'crit, en dé veloppant le dé terminant suivant la première ligne, é 0 . . 1 n+2 0 1 n + n ) . . 1 ou encore 0 1 = 1. [...]

[...] Le point 0 existe sinon les droites et seraient parallèles et le Thé orème de Thalès P MA NA ) donnerait MB = NC . Allié à cela entrainerait P B = 1 soit B = absurde. Le sens PC direct du thé orème permet d'crire é M A P 0 B NC = MB P 0 C NA Compte tenu de cela entraîne P 0B P 0C = PB PC d' P = P où Deuxième solution : Homothé ties. [...]

[...] Si les droites (CP é é sont parallèles, il n' a rien à dé montrer. Sinon, deux droites parmi (CP ) ; ; y sont concourantes. Supposons par exemple que (CP ) et se coupent en M. Alors coupe en R Dans le cas contraire, (BM ) serait parallèle à et l' on aurait le dessin suivant : A B Q C P M Le Thé orème de Thalès entraînerait alors PA PB = AC BM on obtiendrait RC = 1 donc C = ce qui est absurde. [...]

[...] é A M U N I B V C Avec les notations de la . gure ci-dessus, on applique le Thé orème de Mé né laus 6 fois : Triangle ABN et sé cante MIC : Triangle AMC et sé cante NIB : Triangle MNC et sé cante AUI : Triangle MNB et sé cante AUI : Triangle BCM et sé cante AV I : Triangle BCN et sé cante AV I : Alors ; ; , MA MB NA NC AN AC AM AB AM AB AN AC IB CN = 1 IN CA IC BM = 1 IM BA IC UM = 1 IM UN IB UN UM = 1 IN IM C VB = 1 IC V VC IB IN = 1 VB IB MB CA AB UM AC VB = = = IN MA CN AM UN AN VC IC NC BA AC UN AM VC ; ; , = = = IM NA BM AN UM AB VB Ces 6 é galité s entraînent µ µ IB IC MB CA AB UM AC V B IC NC BA AC UN AM V C = : : : : : : : : : : : IN IM M A CN AM UN AN V C IM NA BM AN UM AB V B 4 d' , après simpli où cation µ puis AM AC IN :IM = 3 : AB AN IB IC IB IN µ IC IM = AC :AB AN :AM Par un raisonnement symé trique, nous obtenons aussi la formule AN AB IN :IM = 3 : AC AM IB IC Finalement AM AN AN AM AN AM et ) : : 3 = 3 ) AC = AB : AB AC AC AB L'tude des signes des rapports é AM AB et AN AC permet de conclure à l'galité é AM AB = AN . [...]

[...] Donc l' de ces applications est l' une identité . Par exemple f0 = Id, et il t d'galer le rapport é de f0 = h0 hn (é gal au produit des rapports des hi ) à 1 pour obtenir L'galité s'crit donc = 1. Admettons ici le ré sultat de gé omé trie é ) é ne suivant : n + 1 point Mi d' espace ne de dimension n sont nement lié s un (autrement dit appartiennent à un mê me hyperplan ne) si et seulement si le dé terminant des coordonné es barycentriques de ces points dans un repère ne est nul. [...]