Les quaternions

Thèmes abordés

Quaternions, Jérôme Cardan, William Rowan Hamilton, complexes, expansion des complexes, espace, rotation, octonions

Résumé du document

William Rowan Hamilton, mathématicien irlandais (1805-1866) a élaboré une théorie arithmétique des nombres complexes vers 1805. Celle-ci consiste à considérer ces nombres comme des couples de nombres réels et à définir, explicitement, la somme et le produit de tels couples par :

(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')
(a,b) * (a',b') = (aa'-bb',ab'+ba')


Les parties réelles sont identifiées aux couples (a,0), les parties imaginaires aux couples (0,b), et l'on a :

(a,b) = (a,0) + (0,b)=(a,0)*(1,0) + (b,0)*(0,1)


Dès 1843, Hamilton essaya alors de définir des opérations d'addition et de multiplication, pour des triplets de nombres réels, de telle sorte que les opérations définies vérifient les mêmes propriétés que celles dans l'ensemble des nombres réels (associativité et commutativité des deux opérations, distributivité de la multiplication par rapport à l'addition).

Extraits

[...] Pour résumer, les quaternions peuvent être définis comme une matrice : c'est donc une algèbre et en conséquence un espace vectoriel et un anneau. Or, par le carré du module, on a vu que le déterminant est toujours supérieur ou égal à zéro. A l'exception de la matrice nulle, toute matrice admet un inverse : nous avons donc affaire à un corps. Pour démontrer alors que les quaternions forment un corps non commutatif, il suffit simplement de reprendre le contre-exemple de la partie précédente qui montre que la multiplication n'est pas commutative. Les quaternions, expansion des complexes. Propriétés du conjugué. [...]

[...] De plus, les quaternions vérifient les propriétés suivantes : appelé le conjugué de avec avec et inverses l'un de l'autre. si et seulement si est un quaternion imaginaire pur. où est le conjugué de . Les rotations des quaternions. Rotation dans l'espace. Dans l'espace à trois dimensions, une rotation autour d'un point O peut-être définie par : _un axe passant par portant un vecteur unitaire . [...]

[...] Les quaternions TIPE MATH Les origines des complexes. Les quaternions, expansion des complexes. Origines, définition. Un corps non commutatif. Propriétés du conjugué. Les rotations des quaternions. Rotation dans l'espace. Produit de rotations. Utilisation des quaternions. Ouverture sur les octonions. Les origines des complexes. Au 16e siècle, à Padoue, en Italie, Jérôme Cardan, et ses élèves commencèrent à explorer un Nouveau Monde : le monde des nombres interdits. [...]

[...] Les quaternions, expansion des complexes. Un corps non commutatif. Résolution sans les matrices. + + ij=-ji=k jk=-kj=i ki=-ik=j Montrer que groupe abélien. Loi de Composition Interne (LCI) : + = quaternion quaternion (quaternion. Associativité : = Élément neutre : + = + + + = + + quaternion Symétrique : + = + = Commutativité : + = + = + + = + Montrer que groupe. Loi de Composition Interne (LCI) : * = + i + j + k (quaternion. [...]

[...] Résolution avec les matrices. Soit z un nombre complexe. z = x + i y = r (cos i sin Z² = + i * cos i r sin = cos – r sin + i cos + r sin Z² est donc de la forme a + b i et la matrice de cette transformation est donc du type où a et b sont respectivement les parties réelles et imaginaires de z². Cette représentation matricielle peut-être alors prise comme définition des nombres complexes. [...]