Projet de Gestion de Portefeuille

Résumé du document

Cette première partie vise à déterminer à partir de 4 actions choisies, les portefeuilles optimaux. Pour cela, nous nous baserons sur le modèle de Markowitz, qui propose une solution au problème de diversification optimal de portefeuilles de titres financiers, c'est-à-dire de la détermination de la combinaison de titres qui procure à un investisseur le couple risque - rendement qui lui convient le mieux.

Le modèle de Markowitz est une représentation simplifiée d'une réalité complexe. L'élément clé de ce modèle est la description du profil comportemental de l'investisseur. Cette description consiste exclusivement en une mesure de son degré d'aversion vis-à-vis du risque, aversion qui est elle-même une propriété commune de tous les investisseurs. Ceux-ci sont donc supposés ne se distinguer les uns des autres que par l'intensité de cette aversion. Le risque est quant à lui supposé être uniquement caractérisé par la dispersion (variance) de la distribution de probabilité du rendement. Le modèle est un outil de prise de décision qui indique à chaque investisseur la solution optimale de son problème, à savoir la combinaison de titres présentant le rapport rendement – risque qui correspond le mieux à son degré d'aversion vis-à-vis du risque.
Ce modèle se base sur l'hypothèse que les rendements des titres suivent des lois normales centrées.

Pour l'appliquer, il nous faut connaître la matrice de variance covariance des actions. Cette matrice étant inconnue, il faut l'estimer. Nous avons utilisé deux méthodes, l'estimation empirique et par la méthode de Sharpe.
Il nous faut également connaître l'espérance des performances des actions pour trouver le portefeuille optimal. Pour cela, le modèle du CAPM (Capital Asset Pricing Model) est le modèle théorique de base de l'évaluation des titres. Il a une structure linéaire simple basée sur un facteur : les rendements dépendent seulement des performances du marché. Nous allons ensuite pouvoir optimiser le rapport rendement - risque et trouver pour un degré d'aversion au risque donné le portefeuille efficient.

Extraits

[...] Ils forment une matrice est notée X. Il faut que ces vecteurs suivent une loi normale centrée de matrice de variance covariance . Nous reprenons la matrice de la partie I à laquelle nous rajoutons une ligne et une colonne pour les cov ( Nous obtenons donc la matrice ' : Pour que le vecteur généré suive une loi normale de moyenne nulle et de matrice de variance covariance nous avons utilisé le résultat suivant : Si et Y=A X avec A matrice n n Alors Il nous faut donc trouver A telle que = ' pour simuler un vecteur gaussien . [...]

[...] Soit p la probabilité critique de la statistique F : p = Si cette probabilité est inférieure à on rejette au seuil de Nous obtenons : Pour l'Oréal F = 67,2495889 p [...]

[...] Nous avons effectué le test de Fisher pour confirmer cette hypothèse. 3ème étape : Vérification par le test de Fisher Nous testons si l'on peut considérer que explique significativement le cours de nos actions. Nous cherchons à effectuer le test suivant : : ( = = 0 contre : ( ( 0 ou ( 0. Cela revient en fait à tester l'hypothèse selon laquelle les paramètres sont tous nuls (le modèle n'est pas valide) contre l'hypothèse complémentaire (le modèle est globalement valide). [...]

[...] Elle mesure la dispersion du cours des actions autour de la moyenne. Si cette dispersion est faible, le cours de l'action est relativement stable, nous pouvons donc imaginer que cela restera vrai dans le futur : le cours suivra la tendance, cette action n'est relativement pas risquée. Normalement, la volatilité historique se calcule à l'aide des rendements logarithmiques : . Seulement, comme nous avons , nous pouvons utiliser les performances hebdomadaires des 4 actions. Elles sont obtenues grâce à la formule : = où est la valeur de l'action la semaine t. [...]

[...] Le test est le même que dans la partie I. Nous obtenons : Pour l'Oréal F = 80,1073769 p [...]