Processus aléatoires : Pricing d’options dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein

Résumé du document

Au cours des dernières années, les besoins de gestion des risques financiers se sont multipliés et ont suscité le développement de contrats financiers tels que les contrats à terme fermes et les contrats à terme conditionnels appelés options. La finance de marché s'est alors amorcée pour étudier l'efficience des marchés financiers et réduire les possibilités de spéculations et d'arbitrages générant, dans plusieurs cas, des bulles financières qui ont déstabilisé les systèmes économiques de plusieurs pays.
Dans ce cadre, la valorisation des options représente un axe principal de la recherche en mathématiques financières. Les travaux de F. Black et M. Scholes ont ouvert la porte 1 à la détermination de formules exactes des prix des options. Cependant, pour beaucoup d'entre elles les formules exactes ne sont pas encore déterminées et on a recours de plus en plus aux méthodes numériques. Ces dernières sont multiples et leur efficacité en terme de vitesse convergence et de précision varie en fonction du type de l'option considéré.
Plusieurs algorithmes utilisés pour la valorisation d'options sont issues des méthodes, d'arbres qui comptent parmi les méthodes numériques les plus populaires. Souvent, les études de la convergence théorique du prix approché, fourni par l'algorithme, vers le prix exact de l'option manquent et on se contente des études numériques.

Extraits

[...] e Dans ce cas, le payoff de l'option ` l'´ch´ance est ´gal ` (ST pour un call, et ` a e e e a a 2 ST pour un put. Par contre s'il d´pend des ´volutions du cours de l'actif sous-jacent, on parle d'ope e tions exotiques telles que les options sur trajectoires. Parmi ces derni`res on s'int´ressera e e particuli`rement aux options sur moyenne. Appel´es aussi options asiatiques, leur payoff e e terminal est bas´ sur la moyenne des valeurs du cours de l'actif sous-jacent durant la vie e de l'option. [...]

[...] e e Le mod`le de Cox-Ross-Rubinstein e G´n´ralit´s sur les options e e e Une option est un contrat ` terme conditionnel. Si l'option ne peut ˆtre exerc´e a e e qu'` une date fix´e appel´e ´ch´ance, l'option est dite europ´enne. Si au contraire, le a e e e e e d´tenteur de l'option peut l'exercer ` n'importe quelle date entre la date d'´mission du e a e contrat et l'´ch´ance, l'option est dite am´ricaine. Qu'elle soit europ´enne ou am´ricaine, e e e e e on distingue l'option d'achat (call) de l'option de vente (put). [...]

[...] e 2.3 Le mod`le de Cox-Ross-Rubinstein (CRR) . e 3 Pricing des options europ´ennes et am´ricaines e e 4 Pricing d'options asiatiques M´thode FSG e 5 Conclusion A Le mod`le de Cox-Ross en e Introduction Au cours des derni`res ann´es, les besoins de gestion des risques financiers se sont e e multipli´s et ont suscit´ le d´veloppement de contrats financiers tels que les contrats ` e e e a terme fermes et les contrats ` terme conditionnels appel´s options. a e 1 La finance de march´ s'est alors amorc´e pour ´tudier l'efficience des march´s finane e e e ciers et r´duire les possibilit´s de sp´culations et d'arbitrages g´n´rant, dans plusieurs e e e e e cas, des bulles financi`res qui ont d´stabilis´ les syst`mes ´conomiques de plusieurs pays. [...]

[...] Dans le cadre des options asiatiques, cette m´thode peut ˆtre vue comme une extension de la m´thode de l'arbre binomial. e e e Pour ces options, le payoff terminal est donn´ par : e T f ST Ss ds En effet, si l'on reprend la m´thode utilis´e pour les options standards, l'´volution du e e e 5 cours de l'option et de la moyenne associ´e peut s'´crire sous la forme suivante : e e Sn+1 = Sn Un+1 M n+1 = nMn +Sn+1 n+1 La relation de r´currence descendante associ´e s'´crit alors : e e e = pu C(n + xu, Au + pd C(n + xd, Ad avec : u A = Ad = nm+xu n+1 nm+xd n+1 Malheureusement, cette m´thode est sans espoir d'impl´mentation informatique. [...]

[...] Cependant, pour beaucoup e d'entre elles les formules exactes ne sont pas encore d´termin´es et on a recours de plus e e en plus aux m´thodes num´riques. Ces derni`res sont multiples et leur efficacit´ en terme e e e e de vitesse convergence et de pr´cision varie en fonction du type de l'option consid´r´. e ee Plusieurs algorithmes utilis´s pour la valorisation d'options sont issues des m´thodes e e d'arbres qui comptent parmi les les m´thodes num´riques les plus populaires. [...]