Problèmes du second degré et polynomes

Résumé du document

On appelle fonction trinôme toute fonction f définie par une expression de la forme :
f(x) = ax² + bx + c où a est un réel non nul.

Exemples :
La fonction f(x) = 2x² + 3x - 5 est une fonction trinôme.
La fonction f(x) = x² -5 est une fonction trinôme.
La fonction f(x) = -5x² + 3x est une fonction trinôme.

Théorème et définition :
On appelle forme canonique de f(x) = ax² + bx + c toute écriture de f dans laquelle la variable x n'apparaît qu'une fois.
f(x) = a x + b2a2- b²-4ac4a² est une forme canonique de f(x) = ax² + bx + c.
Résolution d'équations du second degré :
Définition 1 :
Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s'écrire sous la forme :
ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des réels, avec a≠0.
Définition 2 :
On appelle discriminant de l'équation ax² + bx + c = 0 le nombre ∆ = b² - 4ac.
Théorème :
Pour résoudre une équation telle que : ax² + bx + c = 0 , on calcule tout d'abord son discriminant : ∆ = b² - 4ac.

Extraits

[...] * Forme canonique de + 4x 3 + 4x 3 = 2 ) + 4x 3 = 2 ) + 4x 3 = 2 ) 2 ) est la forme canonique de + 4x 3. Résolution d'équations du second degré Définition 1 : Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s'écrire sous la forme : + bx + c = 0 où b et c sont des réels, avec Définition 2 : On appelle discriminant de l'équation + bx + c = 0 le nombre = - 4ac. [...]

[...] Problèmes du second degré et polynomes Sommaire Fonction trinôme Définition et forme canonique Résolution d'équations du second degré Somme et produit des racines d'un trinôme Factorisation d'un trinôme Résolution d'une inéquation du second degré ou étude du signe d'un trinôme Interprétation géométrique II/ Les polynômes Généralités Egalité de deux polynômes Factorisation par x-a Bibliographie Fonction trinôme Définition et forme canonique Définition : On appelle fonction trinôme toute fonction f définie par une expression de la forme : = + bx + c où a est un réel non nul. Exemples : La fonction = + 3x 5 est une fonction trinôme. La fonction = est une fonction trinôme. La fonction = + 3x est une fonction trinôme. [...]

[...] Exemple du dernier résultat : Exemple 1 : Résoudre dans l'inéquation + x Soit le trinôme : = + x 15. Son discriminant est : ( = - = 121 Ce trinôme a donc deux solutions : x1 = ; = 2,5 et x2 = = Le signe de ce trinôme, lorsque x varie dans est donc : L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc : S = ; 2,5]. Exemple 2 : Déterminer le signe de = + 4x 3 lorsque x varie dans . [...]

[...] = a ) est une forme canonique de = + bx + c. Démonstration : = + bx + c où On met a en facteur : = a x + ) On considère + x comme le début du développement d'un carré : + x = = a ) + ) On regroupe les termes constants : = a ) ) C'est la forme canonique de = + bx + c. Exemples : * Forme canonique de - 2x + 2 - 2x + 2 = - 2x + + 1 - 2x + 2 = + 1 + 1 est la forme canonique de - 2x + 2. [...]

[...] Exemples : Factoriser, quand cela est possible, les trinômes suivants en produit de facteurs du premier degré. 10x² - 17x + 3 - 3x + 10 - 6x + 27 10x² - 17x + 3 ( = - = 169 Ce trinôme admet deux racines : x1 = ; = et x2 = ; = La forme factorisée est : = 10 ) ) - 3x + 10 ( = - = -71 ( soit x1 et x2, où x1 [...]