Problème de Cauchy pour l’équation des ondes linéaire

Résumé du document

Il s'agit de r'esoudre le probl`eme de Cauchy pour l''equation des ondes dans R × R3.
Et de mettre en 'evidence certaines propri'et'es de la solution.
Introduisons tout d'abord quelques rappels sur les distributions.
Notons Dα = (∂α1
Si f ∈ C∞(Rn) et si supp(f) est compact, alors f est appel'ee fonction test et on note D(Rn) l'ensemble de ces fonctions. On note DK l'ensemble des fonctions tests `a support inclus dans K (compact de Rn).

Extraits

[...] Si ϕ la fonction Dα ϕ est continue et donc born´e sur le compact K e et on note pα,K = Sup { Dα ϕ(x) , x K}. Pour m on note qm,K = M ax(pα,K α m). On appelle distribution sur Ω toute forme lin´aire T :D(Ω) C telle que e pour tout compact K Ω, N et CK tels que : DK , T CK qm,K (ϕ). On notera T ϕ > et (Ω) l'ensemble des distributions sur Ω. [...]

[...] On dit que (Tt ) C k E E (Ω) est l'espace des distributions u a ` support compact, si pour tout ϕ l'application de R dans C : t Tt , ϕ > est de classe Ck . 3 Proposition 2 Soit (Tt ) C k D (Ω)). Pour tout 0 l k et il existe une distribution Tt telle que Tt C D et que : (t0 ) Tt ϕ D(Ω), d l dt Preuve: Pour k = on peut choisir Tt = Tt . e Montrons le pour le cas k = l = 1. [...]

[...] L'´quations des ondes ´tant invariante par renversement du temps, i.e. si est solution de (Pf0 ,f1 alors est solution de (Pf0 on r´sout le probl`me sur e e 1er cas f1 (R3 ) Th´or`me 16 Si f f1 (R3 il existe une solution u (R4 ) au e e probl`me de Cauchy, et on a : = ut = Tt f1 + Tt e f0 Preuve: D'apr`s la proposition si t Tt est une application de R e a dans l'espace des distributions ` support compact dans R3 et si ϕ (R3 alors la fonction (Tt appartient ` (R4 D'o` l'application a u ut est de classe sur R On a = T0 f1 + T0 f0 = δ0 f0 = f Or ut = Tt D'apr`s la proposition 14, on a e On a f1 + Tt f = = δ0 f1 = f (Tt (Tt = (Tt D'apr`s les propositions 5 et 14, e ut = (Tt ) f1 + (Tt ) f0 = 0. [...]

[...] a Donc une int´gration par parties donne : e x)dx R3 x)dx R3 i 2 3 u i=1 i R3 R3 Donc d dt x)dx. d Donc dt = 2 (Ξu(t, x)dx. Or Ξu donc d dt = 0 et ceci R. Donc = E(0). Remarque 19 On retrouve le r´sultat d'unicit´ par ce th´or`me : e e e e Soit u1 et u2 deux solutions du probl`me de Cauchy (Pf0 ,f1 e Posons u = u1 u On remarque alors que u est solution du probl`me de e Cauchy (P0,0 i.e u = 0 = 0 D'apr`s la propri´t´ de conservation de l'´nergie, on a : e ee e = R + 2 dx = R3 Or ici, f0 = f1 d'o` : u R = R3 Donc R Donc R dx = 0. [...]

[...] Preuve: On a vu que Tt , f1 > + 0 et supposons que x > R + t. On a alors pour s S x ts x t > et donc f1 ts) = 0. On fait de mˆme pour f e On a une propri´t´ particuli`re de la solution u : ee e Principe de Huygens Proposition 22 Soit f f1 D(R3 ) telles que supp(f0 ) et supp(f1 ) sont inclus dans l'ensemble x R3 : x . [...]