Le modèle CEV

Résumé du document

Ce document traite du modèle CEV en mathématiques financières. On étudie d'abord le modèle lui-même avant de voir le pricing du call européen. Ensuite, on voit le smile de volatilité européenne. En effet, la principale caractéristique du modèle CEV (tout comme celui de Black & Scholes), est que les formules de prix obtenues dépendent d'un seul paramètre non directement observable, qui est la volatilité sigma. Cette volatilité peut être calculée par des voies statistiques (s'appuyant sur des données historiques), mais également en se basant sur les cours du jour des différents produits dérivés.
Nous nous sommes intéressés au smile de la volatilité en fonction du strike (la maturité est fixée), et le problème est alors de calculer une volatilité pour chaque strike de la courbe des prix de marché.

Extraits

[...] Lt x Xt Lt On reconnaˆ ıt suit la loi de la transform´e de Laplace d'un χ2 d´centr´ ` 0 degr´s de libert´. Ainsi, e e ea e e densit´ : e fζt = 2 ζt 2ζt 2 2 2 u 1 uζt est la fonction de Bessel modifi´e d'ordre d´finie par : u e e u 2 u 2n 2 = n=0 + n + 2 Pricing du Call europ´en e Le prix du call europ´en est donn´ par : e e Ct = (ST Ft Or : ST est une certaine fonction de St (Ft -mesurable) et de (Ws T ] (ind´pendant e de Ft ) t,x e a x ST (solution de qui part de x en est ´gal en loi ` ST On a donc : 3 x Ct = ST K + = K Lt e (Lu 2 ζt 2ζt 2 2 2 u 1 uζt du = e e ζt 2 n=0 ζtn 4n (Lt u du K Lt Ainsi, dans le mod`le CEV de param`tres le prix aujourd'hui d'un call d'´ch´ance e e e e T et de strike K est donn´ par : e C0 = e T ζ 2 e n=0 ζn 4n (Lu du K L avec : L = ζ = σ 2 µt 4µ 4S0 µ σ 2 ) Smile de volatilit´ implicite e Concept La principale caract´ristique du mod`le CEV (tout comme celui de Black & Scholes), e e est que les formules de prix obtenues d´pendent d'un seul param`tre non directement obe e servable, qui est la volatilit´ σ (le drift µ peut ˆtre supprim´ en effectuant un changement e e e de probabilit´). [...]

[...] Pour information, nous pr´sentons ´galement e e e e un smile de volatilit´ r´el calcul´ ` partir des valeurs de march´ d'un call europ´en sur le e e ea e e taux EUR/USD ` maturit´ le 17/03/2006 (figure 3.3 a e Strike Volatilit´ implicite e Tab Volatilit´ implicite e A Code source #include #include #include 6 Fig Le smile de volatilit´ implicite e 7 #include using namespace std; //lecture des donnees de marche void lecture(double*& P,double*& { ifstream . [...]

[...] Notons qu'on ne peut pas appliquer le th´or`me d'Itˆ ` e e oa cette ´quation car la fonction racine carr´e n'est d´finie que sur R et n'est pas lipschite e e zienne. On a cependant le r´sultat suivant : e Th´or`me 1. On suppose que (Wt ) est un mouvement brownien standard d´fini sur e e e Pour tout r´el x il existe un unique processus continu adapt´ (Xt ` e e a valeurs dans , v´rifiant X0 = x et e dX(t) = µ Xt dt + σ Xt dWt sur D´monstration. [...]

[...] Si e e 4 le mod`le CEV refl´tait bien le march´ cette volatilit´ devrait ˆtre constante. En e e e e e e on obtient une surface de volatilit´ appel´e smile de volatilit´ implicite. e e e e e Nous nous sommes int´ress´ au smile de la volatilit´ en fonction du strike (la maturit´ e e e e est fix´e), et le probl`me est alors de calculer une volatilit´ pour chaque strike de la courbe e e e des prix de march´. [...]

[...] a e e Ainsi, mˆme en utilisant des flottants ` double pr´cision, ainsi que des entiers longs, le e a e prix ne peut ˆtre calcul´ en utilisant la formule 4 que pour certaines valeurs des param`tres e e e (qui restent classiques : r de l'ordre de T de quelques ann´es, σ autour de 10%). En e effet, la somme converge tr`s vite, et l'on peut donc la tronquer ` une quinzaine de valeurs e a afin d'´viter de saturer la m´moire pour les valeurs d´crites des param`tres. e e e e Ensuite vient le calcul de la volatilit´ implicite. Nous avons pour cela utilis´ l'algoe e rithme classique de point fixe de Newton. [...]