Méthodes des volumes finis et solveurs de Riemman rapprochés

Résumé du document

Un exemple simple de loi de conservation en dimension 1 est l'EDP:
qt(x,t)+f(q(x,t))x=0 (1)
où q:R*R=|R (représente une pression u ou une vitesse) et f une fonction appelée «fonction flux».
Cette équation peut s'écrire sous la forme quasilinéaire:
qt+f'(q)qx=0 (2)
Remarque: Dans le cas linéaire, une EDP homogène en x et t a la forme suivante:
qt(x,t)+Aqx(x,t)=0 (3)
où A est une matrice de taille m*m et q:R*R->Rm.
En prenant f(q)=Aq, on voit que (3) est une loi de conservation.

Extraits

[...] Méthodes des volumes finis et solveurs de Riemman rapprochés Méthodes des Volumes­Finis et solveurs de Riemann approchés 1. Introduction: Système de loi de conservation Un exemple simple de loi de conservation en dimension 1 est l'EDP: où q:ℝ✗ℝ+ℝ (représente une pression u ou une vitesse) et f une fonction appelée «fonction flux». Cette équation peut s'écrire sous la forme quasi­linéaire: qt+f'(q)qx=0 Remarque: Dans le cas linéaire, une EDP homogène en x et t a la forme suivante: qt(x,t)+Aqx(x,t)=0 où A est une matrice de taille et q:ℝ✗ℝ+→ℝm. [...]

[...] r R est inversible et on a : où 0 0 Le système devient alors: R­1ut+R­1Aux=0 ie R­1ut+R­1ARR­1ux=0 Posons On a alors : [ ] [ ] 1 r r m 2 0 m Comme est diagonale, ce système est découplé en m équations d'advection indépendante : vtp+pvxp=0 D'où les solutions On a : u(x,t)=Rv(x,t). Plus précisément, si on note L=R et l l les vecteurs ligne de on lpA=plp D'où et vp(x,t)=lpu(x,t) p p p Ainsi u x , u0 . [...]

[...] (Convention: Fi(t)>0 si les particules se déplacent de la gauche vers la droite). On a donc: d dt q x , t 1 2 x1 x2 L'équation est appelée forme intégrale de la loi de conservation. Les lois de la physique donne: flux au point que l'on notera Donc devient: d dt q x , t = f x f x t x1 x2 x2 En supposant que f et q sont suffisamment lisses, on x2 x1 x , x1 f x , dx Puis en regroupant les intégrales, on x2 x1 x , f x , dx=0 et ceci pour tout x1 et x2∈ℝ. [...]

[...] t dx/dt=c x On a pour toute fonction u de classe C1, d dx x , u x ut x x , dt dt Propriété: Si u est de classe C1 et si u vérifie l'équation d'advection, alors u est constante le long de toute courbe caractéristique x telle que D'où : dx . dt { x , t=constante u(x,t)=u0(x­ct). u x 0 x t x x­ct=constante x 2)Cas des systèmes linéaires hyperboliques Soit le système ut+Aux=0, A∈Mm(ℝ) diagonalisable à valeurs propres réelles. [...]