Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4

Résumé du document

Explications de la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 pour résoudre des équations différentielles d'ordre 1, à partir de ses fondements (Euler et méthode d'ordre 2). Algorithme de la méthode afin de construire un programme sous Maple permettant de réaliser cet algorithme. Puis, exemple concret de résolution d'équation différentielle par cette méthode.

Extraits

[...] Le choix des coefficients ajustables est sans grande importance dans la mesure où ils satisfont les équations précédemment écrites. Les seules différences entre deux choix particuliers de ces coefficients interviennent au niveau des erreurs d'approximation (termes en h3 et plus) et correspondent donc à un domaine de précision au-delà de celui retenu pour le calcul de la solution. Ces différences sont donc du domaine des erreurs d'approximation et ne contribuent ni plus ni moins. Voici finalement les formules finales de l'itération de Runge-Kutta à l'ordre 2 : yn+1 = yn + ( k1 + k2 k1 = h f(tn, yn) k2 = h f(tn + yn + k1 ) La méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 La méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 est similaire à la précédente, mais elle considère cette fois une somme de 4 termes et non plus 2. [...]

[...] Le principe de départ de cette méthode est identique à la méthode d'Euler, mais on ajoute d'autres termes correctifs à la relation itérative afin de réduire les erreurs d'arrondis et d'algorithme au fur et à mesure du calcul. Les méthodes de Runge - Kutta constituent une famille de méthodes d'ordre croissant dont la méthode d'Euler est le premier échelon. Principe de la méthode d'Euler : on subdivise l'intervalle d'intégration ; en N sous intervalles de longueur égale à , délimités par les points de subdivision tn = a + nh, N. Pour chaque abscisse tn, on calcule une valeur approchée yn de la vraie valeur y(tn) de la fonction y. [...]

[...] La solution la plus couramment utilisée est donnée par a1 = a2 = α = β = 1 On constate finalement que la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 2 utilise un développement de Taylor garanti exact (mathématiquement) jusqu'au terme en inclus. Ainsi, les trois premiers termes du développement sont exacts, alors que seuls les deux premiers termes étaient corrects avec la méthode d'Euler. Il en résulte évidemment que la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 2 est une meilleure approximation de la solution recherchée. [...]

[...] Cette méthode est garantie exacte jusqu'au terme en h4 inclus. yn+1 = yn + ( k1 + 2k2 + 2 k3 + k4 k1 = h f(tn , yn) k2 = h f(tn + yn + k1 ) k3 = h f(tn + yn + k2 ) k4 = h f(tn + yn + k3 ) Algorithme de la méthode choisie Itération : Intervalle de la fonction f Etant donné nombre de sous intervalles, Poser t0 = a , y0 = Pour n de 1 à N faire : tn = tn-1 + h k1 = hf(tn, yn) k2 = hf(tn + yn + h k1 k3 = hf(tn + yn + h k2 k4 = hf(tn + yn + h k3) yn = yn-1 + h (k1 + 2 k2 + 2 k3+ k4) Programme Ce programme, fournissant les coefficients de la méthode de RK4 et la fonction y recherchée, a été écrit sous MAPLE : RK4 proc( local x1, x2, y1, y2, k1,k2,k3,k4; x2 y2 for i from 1 to N do x1 x2; x2 evalf(x1 + y1 y2; k1 hf(x1,y1); k2 y1 + delta*k1/2); k3 : x1 + y1+h*k2/2); k4 hf( x1 + y1+ y2 y1+h*(k1+2*k2 + 2*k3 + od: end: Exemple Prenons comme équation différentielle : y'= + t Avec Et y0 h = 0,1 donc N = 10 Bibliographie http://www.unice.fr/DeptPhys/informatique/Rapports/negre/node2.html http://math.cmaisonneuve.qc.ca/plantagne/Maple/Euler-Cauchy/Euler- Cauchy1.html http://eleves.ec- lille.fr/~charoloi/maths/int_eqdiffs/int_eqdiffs.html#SECTION Ces données ont été obtenus par la méthode précédente : en calculant à chaque fois les ki, puis en déduisant les yi. [...]

[...] Cette relation de Runge-Kutta peut s'interpréter de la façon suivante : la solution à l'itération n+1 est calculée en fonction de la solution à l'itération mais également en fonction du comportement approché de la solution en différents points intermédiaires entre tn et tn+1 (les coefficients αi, étant inférieurs à en chacun de ces points intermédiaires, la solution est approchée en utilisant la dernière pente connue yn + ki-1 βi . On obtient ainsi une série de coefficients ajustables que l'on calcule par identification avec le développement de Taylor. [...]