Méthode itérative pour résoudre les systèmes linéaires : méthode de Jacobi

Résumé du document

La résolution de système linéaire par des méthodes directes dépendent en particulier de la capacité du calculateur. Au delà d'un certain nombre d'équation à un certain nombre d'inconnues, les méthodes directes deviennent inappropriées au processus en cours (dépassement de capacité mémoire, temps de résolution élevé). Nous avons alors recours aux méthodes itératives. On veut donc résoudre, de manière récursive, un système linéaire de type A.x = b.
Nous allons vous présenter un exemple de méthode itérative pour la résolution de systèmes linéaires : la méthode de Jacobi.
Pour ce faire, nous résolvons le système A.x =b, où A est une matrice inversible, en construisant une suite de vecteur, où x = [x1 , ……,xn].
Le vecteur optimal est généralement obtenu après un certain nombre d'itération lorsqu'on atteint une précision souhaitée.

Extraits

[...] Au-delà d'un certain nombre d'équations à un certain nombre d'inconnues, les méthodes directes deviennent inappropriées au processus en cours (dépassement de capacité mémoire, temps de résolution élevé). Nous avons alors recours aux méthodes itératives. On veut donc résoudre, de manière récursive, un système linéaire de type A.x = b. Nous allons vous présenter un exemple de méthode itérative pour la résolution de systèmes linéaires : la méthode de Jacobi. Pour ce faire, nous résolvons le système A.x où A est une matrice inversible, en construisant une suite de vecteur, où x = ,xn]. [...]

[...] Nous créerons trois matrices, U telles que : M = D et N = L + U ainsi, A = D L U D est une matrice diagonale : L est une matrice inférieure : U est une matrice supérieure : On aura donc la formule itérative matricielle : Algorithme de la méthode Rappelons que les pivots aij de la matrice A doivent être non nuls, dans le cas contraire il suffit d'intervertir les lignes pour remplir la condition nécessaire. (Conditions d'arrêt : Il existe plusieurs conditions pour arrêter l'itération. Elles sont toutes basées sur le vecteur d'erreur qui doit atteindre un critère prédéfini et tendant vers une valeur proche de zéro. Dans notre programme, on propose à l'utilisateur de définir un nombre d'itérations qui sera une condition nécessaire d'arrêt. (Algorithme : Choisir un vecteur initial X0 et le critère d'arrêt ξ Créer D avec dij = aij. [...]

[...] (Principe La méthode itérative consiste à utiliser un vecteur initial X0= ,x0n] , afin de produire une suite de vecteurs du type : Résoudre le système A.x = b. où A est une matrice carrée d'ordre n peut s'écrire sous une autre forme identique (M-N).x = b. On ne peut savoir si le vecteur estimé se dirige vers la solution optimale si un critère de convergence n'est pas défini. Décomposition de A La décomposition de la matrice A est nécessaire pour assurer la convergence de la méthode. En effet, la suite xk doit être convergente. [...]