Les matrices - publié le 20/01/2008

Résumé du document

Une matrice n×m est un tableau rectangulaire de n lignes et m colonnes de nm entités (nombres, symboles, fonctions, etc.), appelées éléments, disposées entre crochets (ou parenthèses).
Une matrice est dite carrée lorsque le nombre de lignes n est égal au nombre de colonnes m. Dans ce cas, n (= m) est appelé l'ordre de la matrice. Notez qu'il n'y a pas de ponctuation (virgule, etc.) au sein de la matrice alors qu'il y en a dans la notation des coordonnées d'un point.

Extraits

[...] z restant inchangé. Il est ainsi possible d'établir une matrice pour chacune des opérations de symétrie d'un groupe. Par exemple, pour le groupe C2v on établit les matrices : Une grandeur caractéristique d'une matrice carrée est sa trace, ou caractère, qui est égale à la somme de ses éléments diagonaux (du coin en haut à gauche vers le coin en bas à droite) : Par exemple : Il est intéressant de noter que le caractère d'une matrice ne reflète que le taux de conversion de y et z en eux-mêmes. [...]

[...] La rotation d'ordre 2 est alors représentée par une matrice : Le caractère de cette matrice est égal à -1. Les vecteurs des atomes hydrogène sont totalement interchangés, ils ne contribuent pas au caractère. Les vecteurs x2 et y2 sont inversés, ils contribuent chacun pour -1. Finalement le vecteur z2 est conservé, il contribue pour 1 au caractère. A partir de cet exemple, pourtant simple, il apparaît clairement qu'il est préférable de travailler à partir des caractères d'une représentation, plutôt que la représentation elle-même ! [...]

[...] C'est ce que nous allons maintenant voir. L'algèbre des matrices Deux matrices peuvent être multipliées à condition qu'elles soient conformes pour la multiplication, c'est-à-dire que le nombre de colonnes de la première doit être égal au nombre de lignes de la seconde : Le produit, C de deux matrices A et B s'obtient de la façon suivante : l'élément Ci,j (ième ligne et jème colonne) de la matrice C est formé en sommant les produits des éléments de la ième ligne de A par les éléments de la jème ligne de B : soit : Cette opération est plus facile à réaliser en disposant les matrices selon : Par exemple : en posant : Maintenant, comment établit-on la matrice M qui répond à l'équation : La réponse est assez simple à partir des relations suivantes : = 0x + 1y + 0z = + 0y + 0z = 0x + 0y + 1z où sont les coordonnées transformées, c'est à dire z). [...]

[...] Le caractère de cette matrice représentant la rotation C2 est égal à ce qui est logique puisque les liaisons sont interchangées (aucune n'est transformée en elle-même). A la place des liaisons nous aurions pu choisir comme base de la représentation les orbitales 1s des atomes d'hydrogène. Il est clair que nous aurions alors obtenu le même résultat pour la représentation de la rotation d'ordre 2. Lorsqu'on s'intéresse aux vibrations moléculaires, il est nécessaire de travailler sur une représentation cartésienne qui utilise les directions y et z de chaque atome comme base. [...]

[...] Dans ce cas, n est appelé l'ordre de la matrice. Notez qu'il n'y a pas de ponctuation (virgule, etc.) au sein de la matrice alors qu'il y en a dans la notation des coordonnées d'un point. Les coordonnées yM, zM) d'un point M peuvent être représentées par une matrice colonne ou vecteur colonne : par exemple : Nous savons que l'opération C4 conduit aux transformations y ( x et x ( z restant inchangé. Un point M de coordonnées est donc transformé par l'application de la rotation d'ordre 4 en un point de coordonnées soit en notation matricielle : Attention, notez bien la différence entre la transformation des axes y et z et celle des coordonnées d'un point elles sont différentes ! [...]