La martingale dans un jeu de hasard

Thèmes abordés

Martingale, jeu de hasard, probabilité, techniques de triche, algorithme

Résumé du document

Qui n'a jamais entendu parler de la fameuse « technique qui marche à coup sûr » pour battre les jeux de hasard ? Est-ce une arnaque, ou la poule aux oeufs d'or ? Intéressons-nous au côté mathématique de cette stratégie appelée « martingale simple».

Extraits

[...] Si ce second tour est victorieux, le profit net est 4 m0 - m0 (mise pour ce tour) m0 (mise précédente perdue) = m0. Si ce second tour mène à une défaite, on double à nouveau la mise qui rapporte en profit net 8 m0 4 m0 m0 - m0 = m0 en cas de victoire. Le gain au bout de n-1 tours perdants consécutifs et du nième tour gagnant est donc de m0. Une fois cette mise (la mise initiale) empochée, on recommence le schéma en remisant m0. [...]

[...] Le joueur est donc sûr de gagner ! D'autant plus qu'ici, aucune valeur n'a été supposée pour p : cette technique marche tout aussi bien pour un bon vieux pile-ou-face = 0.5 = 1-p ) qu'un jeu où le joueur a 99% de chance de perdre (car 0.99 n tend tout autant vers 0). Est-ce à dire que quel que soit le jeu de hasard que l'on considère, pour peu qu'il ait deux issues possible, un joueur lambda avec cette stratégie peut faire sauter la banque ? [...]

[...] Et ce pour au moins deux raisons théoriques : 1. La première est que double à chaque coup sa mise nécessite un fort capital de départ si la chance ne sourit pas et que, malgré l'inéluctabilité de la victoire, celle-ci se fait attendre. En effet, si n-1 tours perdants se sont succédés, la mise à avancer pour jouer au nième tour (et donc ne pas avoir fait tout cela pour rien, car la martingale en question n'est bénéficiaire que si menée à bout, sinon elle n'amène qu'une perte nette) est de S = m0 + 2 m0 + 4 m0 + 8 m0 + + 2n-1 m0 = soit, par exemple après 6 tours perdants : S = m0*(64-1) = 63 m0 Il faudrait donc théoriquement posséder 63 fois sa mise initiale, pour finalement gagner m0 et passer à 64 m0, ce qui représente un gain relatif de 1,6%. [...]

[...] La martingale s'achève avant d'avoir été menée à bout, et le joueur se retrouve pauvre. Le fait est que cette séquence est d'autant plus improbable que le capital initial est grand : si on prend le jeu de pile-ou-face, le tableau de la figure 2 illustre le nombre de coups consécutif que l'on peut jouer avec un capital initial minimal donné, et la probabilité d'en arriver là. Ainsi, la probabilité de perdre 10 fois de suite est d'environ 1 sur 1000, ce qui peut paraitre peu. [...]

[...] Sauf lorsque l'on effectue par ordinateur cette stratégie dix mille fois d'affilée ! Alors dans ce cas, cet évènement catastrophique (il suffit, si votre capital de départ n'excède pas 4094, de subit une seule fois dix pertes d'affilée pour vous retrouver fortement 2 appauvri) a de plus fortes chances de se produire tout de même. Une automatisation de cette stratégie n'est donc pas la meilleure solution pour toucher le jackpot aux casinos. FIGURE 2 : pertes successives possibles en fonction du capital de départ Capital initial minimum Nombre de tours perdant consécutifs possibles Probabilité de perdre ce nombre de fois d'affilée Enfin, citons une troisième raison, plus empirique, qui rend cette stratégie bien moins prometteuse que sur le papier : pour éviter que les joueurs empochent trop facilement le pactole, les casinos limitent le nombre de tour que l'on peut faire à une même table (en fonction de la mise), empêchant donc de mener la martingale jusqu'au bout, et forçant les gains potentiels à reposer sur la chance plutôt que sur l'inéluctabilité de la victoire. [...]