Les marches aléatoires sur les groupes de type fini

Thèmes abordés

Marches aléatoires, groupes de type fini, théorème de Polya, isopérimétrie, cas des réseaux Zd

Résumé du document

Il s'agit ici de s'intéresser aux propriétés géométriques d'un groupe de typeni pour en déduire l'éventuelle récurrence de la marché aléatoire isotrope sur ce groupe associé à un système de générateurs. Dans un premier temps, on traite de façon élémentaire le cas classique du réseau Zd, puis on s'intéresse à la notion de croissance d'un groupe. Enfin, on utilise des résultats d'isopérimétrie sur un groupe pour établir des inégalités fonctionnelles et enfin estimer asymptotiquement le comportement d'une marché aléatoire.

Extraits

[...] On peut de plus remarquer que si G est un sous groupe de G d'indice fini, ils ont tout les deux des croissances ´quivalentes e (dans le sens ou chacune est un born´e par l'autre). e Proposition 12 Un groupe G est soit de croissance polynomiale, soit de croissance superpolynomiale. Preuve Supposons G de croissance non super-polynˆmiale. Alors pour un certain d N et c R o on a pour une infinit´ de n N e V cnd . D'apr`s le th´or`me de Gromov, G admet un sous groupe nilpotent d'indice fini. [...]

[...] Shalom, T. Tao, A finitary version of Gromov's polynomial growth theorem, arXiv : 0910.4148 v T. Coulhon, L. Saloff-Coste. Isop´rim´trie pour les groupes et les vari´t´s, Rev. Mat. Ibee e ee roamericana (1993) 293-314. W. [...]

[...] e e Si d = G est ab´lien de rang 1 donc d'apr`s le th´or`me de structure des groupes ab´lien e e e e e par exemple, Z est un sous groupe d'indice fini de G Si d = G est ab´lien de rang 2 on a la mˆme conclusion avec Z2 e e Si d = le groupe est fini. d 5 Bibliographie Varopoulos, N. Th., Saloff-Coste, L. and Coulhon, T. Analysis and geometry on groups. Cambridge Tracts in Mathematics Cambridge University Press, Cambridge H. Bass, The degree of polynomial growth of finitely generated nilpotent groups, Proceedings London Mathematical Society, vol 25(4) Y. [...]

[...] e I G´n´ralit´s e e e Par la suite, on consid`re G un groupe de type fini c'est a dire engendr´ par une partie e ` e finie S (qu'on supposera sym´trique par souci de simplification c'est ` dire stable par e a passage ` l'inverse). On note e le neutre de G. a D´finition 1 La marche al´atoire isotrope sur G est le processus al´atoire (c'est ` dire e e e a une suite (Xn de variables al´atoires ` valeurs dans telle que P (Xn+1 = a Xn = e a 1 soit cardS si a S et nulle sinon. De plus P (X0 = = 1. Exemple 2 Soit d N. [...]

[...] a ee Proposition 4 Une marche al´atoire est r´currente si et seulement si elle revient en e e moyenne une infinit´ de fois ` l'origine. e a Preuve Notons E l'esp´rance du nombre de retour ` l'origine et u la probabilit´ de retour a l'origine e a e ` = 1 pour une marche al´atoire r´currente). On a alors si u [...]