Marche aléatoire sur les arbres de Galton-Watson: vitesse, dimension de la mesure harmonique

Résumé du document

On considère un processus de branchement dans le cas sur-critique avec la fonction génératrice f(s) = Sigma( pks^k,k=0..infini), i.e, chaque individu aura une probabilité pk d'avoir k enfants, et de plus m := f0(1) > 1. Commençant par un seul ancêtre, ce processus produit un arbre aléatoire infini T, appelé l'arbre de Galton-Watson, dans l'événement de non extinction. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques de la marche aléatoire simple et aux structures de l'arbre T. Le but de ce travail est d'étudier la contribution de R.Lyons, R.Pemantle et Y.Peres à deux aspects du comportement asymptotique d'une marche aléatoire transiente [1]: la vitesse et la "direction". Dans la section 3, on étudiera la vitesse, et on obtiendra qu'elle est p.s. l := Sigma(pk (k − 1)/(k + 1), k=1..infini) Une conséquence de ceci est la marche aléatoire est moins rapide sur un arbre de Galton-Watson non dégénéré (pk < 1 , quelque soit k) que sur un arbre régulier muni de la même croissance. La "direction", i.e, la mesure harmonique, sera étudiée dans la section 4. Le principal résultat de l'article de référence est que la dimension de Hausdorff de la mesure harmonique est strictement inférieure à celle du bord.

Extraits

[...] Pour la preuve, voir e e 20 En observant notre resultat pr´c´dent, on obtient notre th´or`me princie e e e pal: Th´or`me 8.3 La dimension de la mesure harmonique est GW-p.s. inf´e e e rieure ` log m. L'exposant de H¨lder existe p.s. et est une constante. a o D´monstration. L'hypoth`se du th´r`me 7.1 est v´rifi´e dans le th´or`me e e ee e e e e 8.1 et la propostion Il r´sulte de ( 5.1 ) que l'exposant de H¨lder est une e o constante. [...]

[...] et est une constante, alors la o constante est la dimension de Hausdorff de µ. Exemple: On d´finit la marche al´atoire simple sans revenir comme ´tant e e e la marche al´toire qui commence ` la racine et s´lectionne le sommet suivant e a e uniform´ment parmi les enfants du sommet pr´sent. La mesure harmonique e e correspondante sur est appel´e la mesure visuelle, not´e VIST , elle corree e spond au flot uniforme sur T . On suppose maintenant que T est un arbre de Galton-Watson qui commence par une particule et qui a Z1 enfant, alors VIST est aussi un flot sur l'arbre al´atoire T . [...]

[...] e e Th´or`me 7.1 Si Θ est une r`gle de flot telle que ΘT =UNIFT pour GWe e e presque tout arbre T et s'il existe une mesure µ finie, Θ-stationnaire, absolument continue par rapport ` GW, alors pour µ-preque tout T , on a a H¨(ΘT ) [...]

[...] Ergodic theory on Galton-Watson trees: speed of random walk and dimension of harmonic measure, Erogodic Theory Dynam. Systems 15, 593-619. Petersen, K. Erogdic Theory, Cambridge University Press, Cambridge. Lyons, R., Peres, Y. Probability on trees and networks, Cambridge University Press, 1997-2005, http://mypage.iu.edu/˜rdlyons/. Hawkes, J., Trees generated by a simple branching process, J.London Math.Soc.(2)24, 373-384. Doyle, P.G. [...]

[...] Th´or`me 3.1 La chaine de Markov avec les probabilit´s de transition PMAS e e e et la loi initiale AGW est stationnaire et reversible. D´monstration. Soit B deux ensembles Boreliens des arbres, on pose e PMAS A PMAS B)dAGW(T Il suffit de montrer que PMAS = PMAS A). Etant donn´ deux arbres e disjoints T T on note [T1 ] l'arbre enracin´ en root(T1 ) obtenu en e joignant root(T1 ) et root(T2 ) par une arˆte. On remarque que ceci n'est pas e une op´ration sym´trique. [...]